Selesaikan {l}{2x+3y=465}{5x-7y=75}

$$\left. \begin{array} { l } { 2 x + 3 y = 465 } \\ { 5 x - 7 y = 75 } \end{array} \right.$$

Selesaikan untuk x, y

$$x=120$$

$$y=75$$

Langkah Menggunakan Penggantian

Untuk menyelesaikan sepasang persamaan menggunakan penggantian, mula-mula selesaikan satu daripada persamaan untuk salah satu daripada pemboleh ubah. Kemudian gantikan hasil untuk pemboleh ubah itu dalam persamaan lain.

$$2x+3y=465,5x-7y=75$$

Pilih salah satu daripada persamaan dan selesaikannya untuk x dengan mengasingkan x di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$2x+3y=465$$

Tolak 3y daripada kedua-dua belah persamaan.

$$2x=-3y+465$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 2.

$$x=\frac{1}{2}\left(-3y+465\right)$$

Darabkan \frac{1}{2} kali -3y+465.

$$x=-\frac{3}{2}y+\frac{465}{2}$$

Gantikan \frac{-3y+465}{2} dengan x dalam persamaan lain, 5x-7y=75.

$$5\left(-\frac{3}{2}y+\frac{465}{2}\right)-7y=75$$

Darabkan 5 kali \frac{-3y+465}{2}.

$$-\frac{15}{2}y+\frac{2325}{2}-7y=75$$

Tambahkan -\frac{15y}{2} pada -7y.

$$-\frac{29}{2}y+\frac{2325}{2}=75$$

Tolak \frac{2325}{2} daripada kedua-dua belah persamaan.

$$-\frac{29}{2}y=-\frac{2175}{2}$$

Bahagikan kedua-dua belah persamaan dengan -\frac{29}{2} yang bersamaan dengan mendarab kedua-dua belah dengan salingan pecahan.

$$y=75$$

Gantikan 75 dengan y dalam x=-\frac{3}{2}y+\frac{465}{2}. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$x=-\frac{3}{2}\times 75+\frac{465}{2}$$

Darabkan -\frac{3}{2} kali 75.

$$x=\frac{-225+465}{2}$$

Tambahkan \frac{465}{2} pada -\frac{225}{2} dengan mencari satu penyebut sepunya dan menambah pengangka. Kemudian kurangkan pecahan kepada sebutan terendah yang mungkin.

$$x=120$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=120,y=75$$

Langkah Menggunakan Matriks

Letakkan persamaan dalam bentuk piawai dan kemudian gunakan matriks untuk menyelesaikan sistem persamaan.

$$2x+3y=465,5x-7y=75$$

Tuliskan persamaan dalam bentuk matriks.

$$\left(\begin{matrix}2&3\\5&-7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}465\\75\end{matrix}\right)$$

Darabkan ke kiri persamaan dengan matriks songsang bagi \left(\begin{matrix}2&3\\5&-7\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\5&-7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&3\\5&-7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\5&-7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}465\\75\end{matrix}\right)$$

Matriks hasil darab dan sonsangnya adalah matriks identiti.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\5&-7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}465\\75\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\5&-7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}465\\75\end{matrix}\right)$$

Untuk matriks 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matriks songsang ialah \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), jadi persamaan matriks tersebut boleh ditulis semula sebagai masalah pendaraban matriks.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{7}{2\left(-7\right)-3\times 5}&-\frac{3}{2\left(-7\right)-3\times 5}\\-\frac{5}{2\left(-7\right)-3\times 5}&\frac{2}{2\left(-7\right)-3\times 5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}465\\75\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{29}&\frac{3}{29}\\\frac{5}{29}&-\frac{2}{29}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}465\\75\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks tersebut.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{29}\times 465+\frac{3}{29}\times 75\\\frac{5}{29}\times 465-\frac{2}{29}\times 75\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}120\\75\end{matrix}\right)$$

Ekstrak unsur matriks x dan y.

$$x=120,y=75$$

Langkah Menggunakan Penghapusan

Untuk menyelesaikan dengan penghapusan, pekali bagi salah satu daripada pemboleh ubah mestilah sama dalam kedua-dua persamaan supaya pemboleh ubah tersebut akan saling membatalkan apabila satu persamaan ditolak daripada yang satu lagi.

$$2x+3y=465,5x-7y=75$$

Untuk menjadikan 2x dan 5x sama, darabkan semua sebutan pada setiap belah persamaan pertama dengan 5 dan semua sebutan pada setiap belah yang kedua dengan 2.

$$5\times 2x+5\times 3y=5\times 465,2\times 5x+2\left(-7\right)y=2\times 75$$

Permudahkan.

$$10x+15y=2325,10x-14y=150$$

Tolak 10x-14y=150 daripada 10x+15y=2325 dengan menolak sebutan serupa pada setiap belah tanda sama dengan.

$$10x-10x+15y+14y=2325-150$$

Tambahkan 10x pada -10x. Seubtan 10x dan -10x saling membatalkan dan meninggalkan persamaan dengan hanya satu pemboleh ubah yang boleh diselesaikan.

$$15y+14y=2325-150$$

Tambahkan 15y pada 14y.

$$29y=2325-150$$

Tambahkan 2325 pada -150.

$$29y=2175$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 29.

$$y=75$$

Gantikan 75 dengan y dalam 5x-7y=75. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$5x-7\times 75=75$$

Darabkan -7 kali 75.

$$5x-525=75$$

Tambahkan 525 pada kedua-dua belah persamaan.

$$5x=600$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 5.

$$x=120$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=120,y=75$$