Selesaikan {l}{2x+3y=20}{7x+2y=53}

$$\left. \begin{array} { l } { 2 x + 3 y = 20 } \\ { 7 x + 2 y = 53 } \end{array} \right.$$

Selesaikan untuk x, y

$$x=7$$

$$y=2$$

Langkah Menggunakan Penggantian

Untuk menyelesaikan sepasang persamaan menggunakan penggantian, mula-mula selesaikan satu daripada persamaan untuk salah satu daripada pemboleh ubah. Kemudian gantikan hasil untuk pemboleh ubah itu dalam persamaan lain.

$$2x+3y=20,7x+2y=53$$

Pilih salah satu daripada persamaan dan selesaikannya untuk x dengan mengasingkan x di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$2x+3y=20$$

Tolak 3y daripada kedua-dua belah persamaan.

$$2x=-3y+20$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 2.

$$x=\frac{1}{2}\left(-3y+20\right)$$

Darabkan \frac{1}{2} kali -3y+20.

$$x=-\frac{3}{2}y+10$$

Gantikan -\frac{3y}{2}+10 dengan x dalam persamaan lain, 7x+2y=53.

$$7\left(-\frac{3}{2}y+10\right)+2y=53$$

Darabkan 7 kali -\frac{3y}{2}+10.

$$-\frac{21}{2}y+70+2y=53$$

Tambahkan -\frac{21y}{2} pada 2y.

$$-\frac{17}{2}y+70=53$$

Tolak 70 daripada kedua-dua belah persamaan.

$$-\frac{17}{2}y=-17$$

Bahagikan kedua-dua belah persamaan dengan -\frac{17}{2} yang bersamaan dengan mendarab kedua-dua belah dengan salingan pecahan.

$$y=2$$

Gantikan 2 dengan y dalam x=-\frac{3}{2}y+10. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$x=-\frac{3}{2}\times 2+10$$

Darabkan -\frac{3}{2} kali 2.

$$x=-3+10$$

Tambahkan 10 pada -3.

$$x=7$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=7,y=2$$

Langkah Menggunakan Matriks

Letakkan persamaan dalam bentuk piawai dan kemudian gunakan matriks untuk menyelesaikan sistem persamaan.

$$2x+3y=20,7x+2y=53$$

Tuliskan persamaan dalam bentuk matriks.

$$\left(\begin{matrix}2&3\\7&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}20\\53\end{matrix}\right)$$

Darabkan ke kiri persamaan dengan matriks songsang bagi \left(\begin{matrix}2&3\\7&2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\7&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&3\\7&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\7&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}20\\53\end{matrix}\right)$$

Matriks hasil darab dan sonsangnya adalah matriks identiti.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\7&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}20\\53\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\7&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}20\\53\end{matrix}\right)$$

Untuk matriks 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matriks songsang ialah \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), jadi persamaan matriks tersebut boleh ditulis semula sebagai masalah pendaraban matriks.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{2\times 2-3\times 7}&-\frac{3}{2\times 2-3\times 7}\\-\frac{7}{2\times 2-3\times 7}&\frac{2}{2\times 2-3\times 7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}20\\53\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{17}&\frac{3}{17}\\\frac{7}{17}&-\frac{2}{17}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}20\\53\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks tersebut.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{17}\times 20+\frac{3}{17}\times 53\\\frac{7}{17}\times 20-\frac{2}{17}\times 53\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}7\\2\end{matrix}\right)$$

Ekstrak unsur matriks x dan y.

$$x=7,y=2$$

Langkah Menggunakan Penghapusan

Untuk menyelesaikan dengan penghapusan, pekali bagi salah satu daripada pemboleh ubah mestilah sama dalam kedua-dua persamaan supaya pemboleh ubah tersebut akan saling membatalkan apabila satu persamaan ditolak daripada yang satu lagi.

$$2x+3y=20,7x+2y=53$$

Untuk menjadikan 2x dan 7x sama, darabkan semua sebutan pada setiap belah persamaan pertama dengan 7 dan semua sebutan pada setiap belah yang kedua dengan 2.

$$7\times 2x+7\times 3y=7\times 20,2\times 7x+2\times 2y=2\times 53$$

Permudahkan.

$$14x+21y=140,14x+4y=106$$

Tolak 14x+4y=106 daripada 14x+21y=140 dengan menolak sebutan serupa pada setiap belah tanda sama dengan.

$$14x-14x+21y-4y=140-106$$

Tambahkan 14x pada -14x. Seubtan 14x dan -14x saling membatalkan dan meninggalkan persamaan dengan hanya satu pemboleh ubah yang boleh diselesaikan.

$$21y-4y=140-106$$

Tambahkan 21y pada -4y.

$$17y=140-106$$

Tambahkan 140 pada -106.

$$17y=34$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 17.

$$y=2$$

Gantikan 2 dengan y dalam 7x+2y=53. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$7x+2\times 2=53$$

Darabkan 2 kali 2.

$$7x+4=53$$

Tolak 4 daripada kedua-dua belah persamaan.

$$7x=49$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 7.

$$x=7$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=7,y=2$$