Selesaikan {l}{2x+3y=2}{5y+2x=1}

$$\left. \begin{array} { l } { 2 x + 3 y = 2 } \\ { 5 y + 2 x = 1 } \end{array} \right.$$

Selesaikan untuk x, y

$$x = \frac{7}{4} = 1\frac{3}{4} = 1.75$$

$$y=-\frac{1}{2}=-0.5$$

Langkah Menggunakan Penggantian

Untuk menyelesaikan sepasang persamaan menggunakan penggantian, mula-mula selesaikan satu daripada persamaan untuk salah satu daripada pemboleh ubah. Kemudian gantikan hasil untuk pemboleh ubah itu dalam persamaan lain.

$$2x+3y=2,2x+5y=1$$

Pilih salah satu daripada persamaan dan selesaikannya untuk x dengan mengasingkan x di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$2x+3y=2$$

Tolak 3y daripada kedua-dua belah persamaan.

$$2x=-3y+2$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 2.

$$x=\frac{1}{2}\left(-3y+2\right)$$

Darabkan \frac{1}{2} kali -3y+2.

$$x=-\frac{3}{2}y+1$$

Gantikan -\frac{3y}{2}+1 dengan x dalam persamaan lain, 2x+5y=1.

$$2\left(-\frac{3}{2}y+1\right)+5y=1$$

Darabkan 2 kali -\frac{3y}{2}+1.

$$-3y+2+5y=1$$

Tambahkan -3y pada 5y.

$$2y+2=1$$

Tolak 2 daripada kedua-dua belah persamaan.

$$2y=-1$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 2.

$$y=-\frac{1}{2}$$

Gantikan -\frac{1}{2} dengan y dalam x=-\frac{3}{2}y+1. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$x=-\frac{3}{2}\left(-\frac{1}{2}\right)+1$$

Darabkan -\frac{3}{2} dengan -\frac{1}{2} dengan mendarabkan pengangka dengan pengangka dan penyebut dengan penyebut. Kemudian kurangkan pecahan tersebut ke sebutan terendah yang mungkin.

$$x=\frac{3}{4}+1$$

Tambahkan 1 pada \frac{3}{4}.

$$x=\frac{7}{4}$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=\frac{7}{4},y=-\frac{1}{2}$$

Langkah Menggunakan Matriks

Letakkan persamaan dalam bentuk piawai dan kemudian gunakan matriks untuk menyelesaikan sistem persamaan.

$$2x+3y=2,2x+5y=1$$

Tuliskan persamaan dalam bentuk matriks.

$$\left(\begin{matrix}2&3\\2&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\1\end{matrix}\right)$$

Darabkan ke kiri persamaan dengan matriks songsang bagi \left(\begin{matrix}2&3\\2&5\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\2&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&3\\2&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\2&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\1\end{matrix}\right)$$

Matriks hasil darab dan sonsangnya adalah matriks identiti.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\2&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\1\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\2&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\1\end{matrix}\right)$$

Untuk matriks 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matriks songsang ialah \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), jadi persamaan matriks tersebut boleh ditulis semula sebagai masalah pendaraban matriks.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{2\times 5-3\times 2}&-\frac{3}{2\times 5-3\times 2}\\-\frac{2}{2\times 5-3\times 2}&\frac{2}{2\times 5-3\times 2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\1\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{4}&-\frac{3}{4}\\-\frac{1}{2}&\frac{1}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\1\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks tersebut.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{4}\times 2-\frac{3}{4}\\-\frac{1}{2}\times 2+\frac{1}{2}\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{4}\\-\frac{1}{2}\end{matrix}\right)$$

Ekstrak unsur matriks x dan y.

$$x=\frac{7}{4},y=-\frac{1}{2}$$

Langkah Menggunakan Penghapusan

Untuk menyelesaikan dengan penghapusan, pekali bagi salah satu daripada pemboleh ubah mestilah sama dalam kedua-dua persamaan supaya pemboleh ubah tersebut akan saling membatalkan apabila satu persamaan ditolak daripada yang satu lagi.

$$2x+3y=2,2x+5y=1$$

Tolak 2x+5y=1 daripada 2x+3y=2 dengan menolak sebutan serupa pada setiap belah tanda sama dengan.

$$2x-2x+3y-5y=2-1$$

Tambahkan 2x pada -2x. Seubtan 2x dan -2x saling membatalkan dan meninggalkan persamaan dengan hanya satu pemboleh ubah yang boleh diselesaikan.

$$3y-5y=2-1$$

Tambahkan 3y pada -5y.

$$-2y=2-1$$

Tambahkan 2 pada -1.

$$-2y=1$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan -2.

$$y=-\frac{1}{2}$$

Gantikan -\frac{1}{2} dengan y dalam 2x+5y=1. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$2x+5\left(-\frac{1}{2}\right)=1$$

Darabkan 5 kali -\frac{1}{2}.

$$2x-\frac{5}{2}=1$$

Tambahkan \frac{5}{2} pada kedua-dua belah persamaan.

$$2x=\frac{7}{2}$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 2.

$$x=\frac{7}{4}$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=\frac{7}{4},y=-\frac{1}{2}$$