Selesaikan {l}{2x+3y=2}{4x+16y=3}

$$\left. \begin{array} { l } { 2 x + 3 y = 2 } \\ { 4 x + 16 y = 3 } \end{array} \right.$$

Selesaikan untuk x, y

$$x = \frac{23}{20} = 1\frac{3}{20} = 1.15$$

$$y=-\frac{1}{10}=-0.1$$

Langkah Menggunakan Penggantian

Untuk menyelesaikan sepasang persamaan menggunakan penggantian, mula-mula selesaikan satu daripada persamaan untuk salah satu daripada pemboleh ubah. Kemudian gantikan hasil untuk pemboleh ubah itu dalam persamaan lain.

$$2x+3y=2,4x+16y=3$$

Pilih salah satu daripada persamaan dan selesaikannya untuk x dengan mengasingkan x di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$2x+3y=2$$

Tolak 3y daripada kedua-dua belah persamaan.

$$2x=-3y+2$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 2.

$$x=\frac{1}{2}\left(-3y+2\right)$$

Darabkan \frac{1}{2} kali -3y+2.

$$x=-\frac{3}{2}y+1$$

Gantikan -\frac{3y}{2}+1 dengan x dalam persamaan lain, 4x+16y=3.

$$4\left(-\frac{3}{2}y+1\right)+16y=3$$

Darabkan 4 kali -\frac{3y}{2}+1.

$$-6y+4+16y=3$$

Tambahkan -6y pada 16y.

$$10y+4=3$$

Tolak 4 daripada kedua-dua belah persamaan.

$$10y=-1$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 10.

$$y=-\frac{1}{10}$$

Gantikan -\frac{1}{10} dengan y dalam x=-\frac{3}{2}y+1. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$x=-\frac{3}{2}\left(-\frac{1}{10}\right)+1$$

Darabkan -\frac{3}{2} dengan -\frac{1}{10} dengan mendarabkan pengangka dengan pengangka dan penyebut dengan penyebut. Kemudian kurangkan pecahan tersebut ke sebutan terendah yang mungkin.

$$x=\frac{3}{20}+1$$

Tambahkan 1 pada \frac{3}{20}.

$$x=\frac{23}{20}$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=\frac{23}{20},y=-\frac{1}{10}$$

Langkah Menggunakan Matriks

Letakkan persamaan dalam bentuk piawai dan kemudian gunakan matriks untuk menyelesaikan sistem persamaan.

$$2x+3y=2,4x+16y=3$$

Tuliskan persamaan dalam bentuk matriks.

$$\left(\begin{matrix}2&3\\4&16\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\3\end{matrix}\right)$$

Darabkan ke kiri persamaan dengan matriks songsang bagi \left(\begin{matrix}2&3\\4&16\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\4&16\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&3\\4&16\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\4&16\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\3\end{matrix}\right)$$

Matriks hasil darab dan sonsangnya adalah matriks identiti.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\4&16\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\3\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\4&16\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\3\end{matrix}\right)$$

Untuk matriks 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matriks songsang ialah \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), jadi persamaan matriks tersebut boleh ditulis semula sebagai masalah pendaraban matriks.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{16}{2\times 16-3\times 4}&-\frac{3}{2\times 16-3\times 4}\\-\frac{4}{2\times 16-3\times 4}&\frac{2}{2\times 16-3\times 4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\3\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{5}&-\frac{3}{20}\\-\frac{1}{5}&\frac{1}{10}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\3\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks tersebut.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{5}\times 2-\frac{3}{20}\times 3\\-\frac{1}{5}\times 2+\frac{1}{10}\times 3\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{23}{20}\\-\frac{1}{10}\end{matrix}\right)$$

Ekstrak unsur matriks x dan y.

$$x=\frac{23}{20},y=-\frac{1}{10}$$

Langkah Menggunakan Penghapusan

Untuk menyelesaikan dengan penghapusan, pekali bagi salah satu daripada pemboleh ubah mestilah sama dalam kedua-dua persamaan supaya pemboleh ubah tersebut akan saling membatalkan apabila satu persamaan ditolak daripada yang satu lagi.

$$2x+3y=2,4x+16y=3$$

Untuk menjadikan 2x dan 4x sama, darabkan semua sebutan pada setiap belah persamaan pertama dengan 4 dan semua sebutan pada setiap belah yang kedua dengan 2.

$$4\times 2x+4\times 3y=4\times 2,2\times 4x+2\times 16y=2\times 3$$

Permudahkan.

$$8x+12y=8,8x+32y=6$$

Tolak 8x+32y=6 daripada 8x+12y=8 dengan menolak sebutan serupa pada setiap belah tanda sama dengan.

$$8x-8x+12y-32y=8-6$$

Tambahkan 8x pada -8x. Seubtan 8x dan -8x saling membatalkan dan meninggalkan persamaan dengan hanya satu pemboleh ubah yang boleh diselesaikan.

$$12y-32y=8-6$$

Tambahkan 12y pada -32y.

$$-20y=8-6$$

Tambahkan 8 pada -6.

$$-20y=2$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan -20.

$$y=-\frac{1}{10}$$

Gantikan -\frac{1}{10} dengan y dalam 4x+16y=3. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$4x+16\left(-\frac{1}{10}\right)=3$$

Darabkan 16 kali -\frac{1}{10}.

$$4x-\frac{8}{5}=3$$

Tambahkan \frac{8}{5} pada kedua-dua belah persamaan.

$$4x=\frac{23}{5}$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 4.

$$x=\frac{23}{20}$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=\frac{23}{20},y=-\frac{1}{10}$$