Selesaikan {l}{2x+3y=15}{x+y=6}

$$\left. \begin{array} { l } { 2 x + 3 y = 15 } \\ { x + y = 6 } \end{array} \right.$$

Selesaikan untuk x, y

$$x=3$$

$$y=3$$

Langkah Menggunakan Penggantian

Untuk menyelesaikan sepasang persamaan menggunakan penggantian, mula-mula selesaikan satu daripada persamaan untuk salah satu daripada pemboleh ubah. Kemudian gantikan hasil untuk pemboleh ubah itu dalam persamaan lain.

$$2x+3y=15,x+y=6$$

Pilih salah satu daripada persamaan dan selesaikannya untuk x dengan mengasingkan x di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$2x+3y=15$$

Tolak 3y daripada kedua-dua belah persamaan.

$$2x=-3y+15$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 2.

$$x=\frac{1}{2}\left(-3y+15\right)$$

Darabkan \frac{1}{2} kali -3y+15.

$$x=-\frac{3}{2}y+\frac{15}{2}$$

Gantikan \frac{-3y+15}{2} dengan x dalam persamaan lain, x+y=6.

$$-\frac{3}{2}y+\frac{15}{2}+y=6$$

Tambahkan -\frac{3y}{2} pada y.

$$-\frac{1}{2}y+\frac{15}{2}=6$$

Tolak \frac{15}{2} daripada kedua-dua belah persamaan.

$$-\frac{1}{2}y=-\frac{3}{2}$$

Darabkan kedua-dua belah dengan -2.

$$y=3$$

Gantikan 3 dengan y dalam x=-\frac{3}{2}y+\frac{15}{2}. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$x=-\frac{3}{2}\times 3+\frac{15}{2}$$

Darabkan -\frac{3}{2} kali 3.

$$x=\frac{-9+15}{2}$$

Tambahkan \frac{15}{2} pada -\frac{9}{2} dengan mencari satu penyebut sepunya dan menambah pengangka. Kemudian kurangkan pecahan kepada sebutan terendah yang mungkin.

$$x=3$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=3,y=3$$

Langkah Menggunakan Matriks

Letakkan persamaan dalam bentuk piawai dan kemudian gunakan matriks untuk menyelesaikan sistem persamaan.

$$2x+3y=15,x+y=6$$

Tuliskan persamaan dalam bentuk matriks.

$$\left(\begin{matrix}2&3\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}15\\6\end{matrix}\right)$$

Darabkan ke kiri persamaan dengan matriks songsang bagi \left(\begin{matrix}2&3\\1&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&3\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}15\\6\end{matrix}\right)$$

Matriks hasil darab dan sonsangnya adalah matriks identiti.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}15\\6\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}15\\6\end{matrix}\right)$$

Untuk matriks 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matriks songsang ialah \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), jadi persamaan matriks tersebut boleh ditulis semula sebagai masalah pendaraban matriks.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2-3}&-\frac{3}{2-3}\\-\frac{1}{2-3}&\frac{2}{2-3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}15\\6\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1&3\\1&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}15\\6\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks tersebut.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-15+3\times 6\\15-2\times 6\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\3\end{matrix}\right)$$

Ekstrak unsur matriks x dan y.

$$x=3,y=3$$

Langkah Menggunakan Penghapusan

Untuk menyelesaikan dengan penghapusan, pekali bagi salah satu daripada pemboleh ubah mestilah sama dalam kedua-dua persamaan supaya pemboleh ubah tersebut akan saling membatalkan apabila satu persamaan ditolak daripada yang satu lagi.

$$2x+3y=15,x+y=6$$

Untuk menjadikan 2x dan x sama, darabkan semua sebutan pada setiap belah persamaan pertama dengan 1 dan semua sebutan pada setiap belah yang kedua dengan 2.

$$2x+3y=15,2x+2y=2\times 6$$

Permudahkan.

$$2x+3y=15,2x+2y=12$$

Tolak 2x+2y=12 daripada 2x+3y=15 dengan menolak sebutan serupa pada setiap belah tanda sama dengan.

$$2x-2x+3y-2y=15-12$$

Tambahkan 2x pada -2x. Seubtan 2x dan -2x saling membatalkan dan meninggalkan persamaan dengan hanya satu pemboleh ubah yang boleh diselesaikan.

$$3y-2y=15-12$$

Tambahkan 3y pada -2y.

$$y=15-12$$

Tambahkan 15 pada -12.

$$y=3$$

Gantikan 3 dengan y dalam x+y=6. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$x+3=6$$

Tolak 3 daripada kedua-dua belah persamaan.

$$x=3$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=3,y=3$$