Selesaikan {l}{2x+3y=12}{3x+2y=13}

$$\left. \begin{array} { l } { 2 x + 3 y = 12 } \\ { 3 x + 2 y = 13 } \end{array} \right.$$

Selesaikan untuk x, y

$$x=3$$

$$y=2$$

Langkah Menggunakan Penggantian

Untuk menyelesaikan sepasang persamaan menggunakan penggantian, mula-mula selesaikan satu daripada persamaan untuk salah satu daripada pemboleh ubah. Kemudian gantikan hasil untuk pemboleh ubah itu dalam persamaan lain.

$$2x+3y=12,3x+2y=13$$

Pilih salah satu daripada persamaan dan selesaikannya untuk x dengan mengasingkan x di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$2x+3y=12$$

Tolak 3y daripada kedua-dua belah persamaan.

$$2x=-3y+12$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 2.

$$x=\frac{1}{2}\left(-3y+12\right)$$

Darabkan \frac{1}{2} kali -3y+12.

$$x=-\frac{3}{2}y+6$$

Gantikan -\frac{3y}{2}+6 dengan x dalam persamaan lain, 3x+2y=13.

$$3\left(-\frac{3}{2}y+6\right)+2y=13$$

Darabkan 3 kali -\frac{3y}{2}+6.

$$-\frac{9}{2}y+18+2y=13$$

Tambahkan -\frac{9y}{2} pada 2y.

$$-\frac{5}{2}y+18=13$$

Tolak 18 daripada kedua-dua belah persamaan.

$$-\frac{5}{2}y=-5$$

Bahagikan kedua-dua belah persamaan dengan -\frac{5}{2} yang bersamaan dengan mendarab kedua-dua belah dengan salingan pecahan.

$$y=2$$

Gantikan 2 dengan y dalam x=-\frac{3}{2}y+6. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$x=-\frac{3}{2}\times 2+6$$

Darabkan -\frac{3}{2} kali 2.

$$x=-3+6$$

Tambahkan 6 pada -3.

$$x=3$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=3,y=2$$

Langkah Menggunakan Matriks

Letakkan persamaan dalam bentuk piawai dan kemudian gunakan matriks untuk menyelesaikan sistem persamaan.

$$2x+3y=12,3x+2y=13$$

Tuliskan persamaan dalam bentuk matriks.

$$\left(\begin{matrix}2&3\\3&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}12\\13\end{matrix}\right)$$

Darabkan ke kiri persamaan dengan matriks songsang bagi \left(\begin{matrix}2&3\\3&2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&3\\3&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}12\\13\end{matrix}\right)$$

Matriks hasil darab dan sonsangnya adalah matriks identiti.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}12\\13\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}12\\13\end{matrix}\right)$$

Untuk matriks 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matriks songsang ialah \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), jadi persamaan matriks tersebut boleh ditulis semula sebagai masalah pendaraban matriks.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{2\times 2-3\times 3}&-\frac{3}{2\times 2-3\times 3}\\-\frac{3}{2\times 2-3\times 3}&\frac{2}{2\times 2-3\times 3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}12\\13\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{5}&\frac{3}{5}\\\frac{3}{5}&-\frac{2}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}12\\13\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks tersebut.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{5}\times 12+\frac{3}{5}\times 13\\\frac{3}{5}\times 12-\frac{2}{5}\times 13\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\2\end{matrix}\right)$$

Ekstrak unsur matriks x dan y.

$$x=3,y=2$$

Langkah Menggunakan Penghapusan

Untuk menyelesaikan dengan penghapusan, pekali bagi salah satu daripada pemboleh ubah mestilah sama dalam kedua-dua persamaan supaya pemboleh ubah tersebut akan saling membatalkan apabila satu persamaan ditolak daripada yang satu lagi.

$$2x+3y=12,3x+2y=13$$

Untuk menjadikan 2x dan 3x sama, darabkan semua sebutan pada setiap belah persamaan pertama dengan 3 dan semua sebutan pada setiap belah yang kedua dengan 2.

$$3\times 2x+3\times 3y=3\times 12,2\times 3x+2\times 2y=2\times 13$$

Permudahkan.

$$6x+9y=36,6x+4y=26$$

Tolak 6x+4y=26 daripada 6x+9y=36 dengan menolak sebutan serupa pada setiap belah tanda sama dengan.

$$6x-6x+9y-4y=36-26$$

Tambahkan 6x pada -6x. Seubtan 6x dan -6x saling membatalkan dan meninggalkan persamaan dengan hanya satu pemboleh ubah yang boleh diselesaikan.

$$9y-4y=36-26$$

Tambahkan 9y pada -4y.

$$5y=36-26$$

Tambahkan 36 pada -26.

$$5y=10$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 5.

$$y=2$$

Gantikan 2 dengan y dalam 3x+2y=13. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$3x+2\times 2=13$$

Darabkan 2 kali 2.

$$3x+4=13$$

Tolak 4 daripada kedua-dua belah persamaan.

$$3x=9$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 3.

$$x=3$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=3,y=2$$