Selesaikan {l}{2x+3y=10}{4x+5y=42}

$$\left. \begin{array} { l } { 2 x + 3 y = 10 } \\ { 4 x + 5 y = 42 } \end{array} \right.$$

Selesaikan untuk x, y

$$x=38$$

$$y=-22$$

Langkah Menggunakan Penggantian

Untuk menyelesaikan sepasang persamaan menggunakan penggantian, mula-mula selesaikan satu daripada persamaan untuk salah satu daripada pemboleh ubah. Kemudian gantikan hasil untuk pemboleh ubah itu dalam persamaan lain.

$$2x+3y=10,4x+5y=42$$

Pilih salah satu daripada persamaan dan selesaikannya untuk x dengan mengasingkan x di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$2x+3y=10$$

Tolak 3y daripada kedua-dua belah persamaan.

$$2x=-3y+10$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 2.

$$x=\frac{1}{2}\left(-3y+10\right)$$

Darabkan \frac{1}{2} kali -3y+10.

$$x=-\frac{3}{2}y+5$$

Gantikan -\frac{3y}{2}+5 dengan x dalam persamaan lain, 4x+5y=42.

$$4\left(-\frac{3}{2}y+5\right)+5y=42$$

Darabkan 4 kali -\frac{3y}{2}+5.

$$-6y+20+5y=42$$

Tambahkan -6y pada 5y.

$$-y+20=42$$

Tolak 20 daripada kedua-dua belah persamaan.

$$-y=22$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan -1.

$$y=-22$$

Gantikan -22 dengan y dalam x=-\frac{3}{2}y+5. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$x=-\frac{3}{2}\left(-22\right)+5$$

Darabkan -\frac{3}{2} kali -22.

$$x=33+5$$

Tambahkan 5 pada 33.

$$x=38$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=38,y=-22$$

Langkah Menggunakan Matriks

Letakkan persamaan dalam bentuk piawai dan kemudian gunakan matriks untuk menyelesaikan sistem persamaan.

$$2x+3y=10,4x+5y=42$$

Tuliskan persamaan dalam bentuk matriks.

$$\left(\begin{matrix}2&3\\4&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}10\\42\end{matrix}\right)$$

Darabkan ke kiri persamaan dengan matriks songsang bagi \left(\begin{matrix}2&3\\4&5\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\4&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&3\\4&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\4&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\42\end{matrix}\right)$$

Matriks hasil darab dan sonsangnya adalah matriks identiti.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\4&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\42\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\4&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\42\end{matrix}\right)$$

Untuk matriks 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matriks songsang ialah \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), jadi persamaan matriks tersebut boleh ditulis semula sebagai masalah pendaraban matriks.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{2\times 5-3\times 4}&-\frac{3}{2\times 5-3\times 4}\\-\frac{4}{2\times 5-3\times 4}&\frac{2}{2\times 5-3\times 4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}10\\42\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{5}{2}&\frac{3}{2}\\2&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}10\\42\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks tersebut.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{5}{2}\times 10+\frac{3}{2}\times 42\\2\times 10-42\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}38\\-22\end{matrix}\right)$$

Ekstrak unsur matriks x dan y.

$$x=38,y=-22$$

Langkah Menggunakan Penghapusan

Untuk menyelesaikan dengan penghapusan, pekali bagi salah satu daripada pemboleh ubah mestilah sama dalam kedua-dua persamaan supaya pemboleh ubah tersebut akan saling membatalkan apabila satu persamaan ditolak daripada yang satu lagi.

$$2x+3y=10,4x+5y=42$$

Untuk menjadikan 2x dan 4x sama, darabkan semua sebutan pada setiap belah persamaan pertama dengan 4 dan semua sebutan pada setiap belah yang kedua dengan 2.

$$4\times 2x+4\times 3y=4\times 10,2\times 4x+2\times 5y=2\times 42$$

Permudahkan.

$$8x+12y=40,8x+10y=84$$

Tolak 8x+10y=84 daripada 8x+12y=40 dengan menolak sebutan serupa pada setiap belah tanda sama dengan.

$$8x-8x+12y-10y=40-84$$

Tambahkan 8x pada -8x. Seubtan 8x dan -8x saling membatalkan dan meninggalkan persamaan dengan hanya satu pemboleh ubah yang boleh diselesaikan.

$$12y-10y=40-84$$

Tambahkan 12y pada -10y.

$$2y=40-84$$

Tambahkan 40 pada -84.

$$2y=-44$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 2.

$$y=-22$$

Gantikan -22 dengan y dalam 4x+5y=42. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$4x+5\left(-22\right)=42$$

Darabkan 5 kali -22.

$$4x-110=42$$

Tambahkan 110 pada kedua-dua belah persamaan.

$$4x=152$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 4.

$$x=38$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=38,y=-22$$