Selesaikan {l}{2x+3y=10}{3x+4y=15}

$$\left. \begin{array} { l } { 2 x + 3 y = 10 } \\ { 3 x + 4 y = 15 } \end{array} \right.$$

Selesaikan untuk x, y

$$x=5$$

$$y=0$$

Langkah Menggunakan Penggantian

Untuk menyelesaikan sepasang persamaan menggunakan penggantian, mula-mula selesaikan satu daripada persamaan untuk salah satu daripada pemboleh ubah. Kemudian gantikan hasil untuk pemboleh ubah itu dalam persamaan lain.

$$2x+3y=10,3x+4y=15$$

Pilih salah satu daripada persamaan dan selesaikannya untuk x dengan mengasingkan x di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$2x+3y=10$$

Tolak 3y daripada kedua-dua belah persamaan.

$$2x=-3y+10$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 2.

$$x=\frac{1}{2}\left(-3y+10\right)$$

Darabkan \frac{1}{2} kali -3y+10.

$$x=-\frac{3}{2}y+5$$

Gantikan -\frac{3y}{2}+5 dengan x dalam persamaan lain, 3x+4y=15.

$$3\left(-\frac{3}{2}y+5\right)+4y=15$$

Darabkan 3 kali -\frac{3y}{2}+5.

$$-\frac{9}{2}y+15+4y=15$$

Tambahkan -\frac{9y}{2} pada 4y.

$$-\frac{1}{2}y+15=15$$

Tolak 15 daripada kedua-dua belah persamaan.

$$-\frac{1}{2}y=0$$

Darabkan kedua-dua belah dengan -2.

$$y=0$$

Gantikan 0 dengan y dalam x=-\frac{3}{2}y+5. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$x=5$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=5,y=0$$

Langkah Menggunakan Matriks

Letakkan persamaan dalam bentuk piawai dan kemudian gunakan matriks untuk menyelesaikan sistem persamaan.

$$2x+3y=10,3x+4y=15$$

Tuliskan persamaan dalam bentuk matriks.

$$\left(\begin{matrix}2&3\\3&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}10\\15\end{matrix}\right)$$

Darabkan ke kiri persamaan dengan matriks songsang bagi \left(\begin{matrix}2&3\\3&4\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&3\\3&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\15\end{matrix}\right)$$

Matriks hasil darab dan sonsangnya adalah matriks identiti.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\15\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\15\end{matrix}\right)$$

Untuk matriks 2\times 2, \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matriks songsang ialah \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), jadi persamaan matriks tersebut boleh ditulis semula sebagai masalah pendaraban matriks.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{2\times 4-3\times 3}&-\frac{3}{2\times 4-3\times 3}\\-\frac{3}{2\times 4-3\times 3}&\frac{2}{2\times 4-3\times 3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}10\\15\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-4&3\\3&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}10\\15\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks tersebut.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-4\times 10+3\times 15\\3\times 10-2\times 15\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\0\end{matrix}\right)$$

Ekstrak unsur matriks x dan y.

$$x=5,y=0$$

Langkah Menggunakan Penghapusan

Untuk menyelesaikan dengan penghapusan, pekali bagi salah satu daripada pemboleh ubah mestilah sama dalam kedua-dua persamaan supaya pemboleh ubah tersebut akan saling membatalkan apabila satu persamaan ditolak daripada yang satu lagi.

$$2x+3y=10,3x+4y=15$$

Untuk menjadikan 2x dan 3x sama, darabkan semua sebutan pada setiap belah persamaan pertama dengan 3 dan semua sebutan pada setiap belah yang kedua dengan 2.

$$3\times 2x+3\times 3y=3\times 10,2\times 3x+2\times 4y=2\times 15$$

Permudahkan.

$$6x+9y=30,6x+8y=30$$

Tolak 6x+8y=30 daripada 6x+9y=30 dengan menolak sebutan serupa pada setiap belah tanda sama dengan.

$$6x-6x+9y-8y=30-30$$

Tambahkan 6x pada -6x. Seubtan 6x dan -6x saling membatalkan dan meninggalkan persamaan dengan hanya satu pemboleh ubah yang boleh diselesaikan.

$$9y-8y=30-30$$

Tambahkan 9y pada -8y.

$$y=30-30$$

Tambahkan 30 pada -30.

$$y=0$$

Gantikan 0 dengan y dalam 3x+4y=15. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$3x=15$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 3.

$$x=5$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=5,y=0$$