Selesaikan {l}{2x+3y+5=0}{3x-2y-12=0}

$$\left. \begin{array} { l } { 2 x + 3 y + 5 = 0 } \\ { 3 x - 2 y - 12 = 0 } \end{array} \right.$$

Selesaikan untuk x, y

$$x=2$$

$$y=-3$$

Langkah Menggunakan Penggantian

Untuk menyelesaikan sepasang persamaan menggunakan penggantian, mula-mula selesaikan satu daripada persamaan untuk salah satu daripada pemboleh ubah. Kemudian gantikan hasil untuk pemboleh ubah itu dalam persamaan lain.

$$2x+3y+5=0,3x-2y-12=0$$

Pilih salah satu daripada persamaan dan selesaikannya untuk x dengan mengasingkan x di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$2x+3y+5=0$$

Tolak 5 daripada kedua-dua belah persamaan.

$$2x+3y=-5$$

Tolak 3y daripada kedua-dua belah persamaan.

$$2x=-3y-5$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 2.

$$x=\frac{1}{2}\left(-3y-5\right)$$

Darabkan \frac{1}{2} kali -3y-5.

$$x=-\frac{3}{2}y-\frac{5}{2}$$

Gantikan \frac{-3y-5}{2} dengan x dalam persamaan lain, 3x-2y-12=0.

$$3\left(-\frac{3}{2}y-\frac{5}{2}\right)-2y-12=0$$

Darabkan 3 kali \frac{-3y-5}{2}.

$$-\frac{9}{2}y-\frac{15}{2}-2y-12=0$$

Tambahkan -\frac{9y}{2} pada -2y.

$$-\frac{13}{2}y-\frac{15}{2}-12=0$$

Tambahkan -\frac{15}{2} pada -12.

$$-\frac{13}{2}y-\frac{39}{2}=0$$

Tambahkan \frac{39}{2} pada kedua-dua belah persamaan.

$$-\frac{13}{2}y=\frac{39}{2}$$

Bahagikan kedua-dua belah persamaan dengan -\frac{13}{2} yang bersamaan dengan mendarab kedua-dua belah dengan salingan pecahan.

$$y=-3$$

Gantikan -3 dengan y dalam x=-\frac{3}{2}y-\frac{5}{2}. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$x=-\frac{3}{2}\left(-3\right)-\frac{5}{2}$$

Darabkan -\frac{3}{2} kali -3.

$$x=\frac{9-5}{2}$$

Tambahkan -\frac{5}{2} pada \frac{9}{2} dengan mencari satu penyebut sepunya dan menambah pengangka. Kemudian kurangkan pecahan kepada sebutan terendah yang mungkin.

$$x=2$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=2,y=-3$$

Langkah Menggunakan Matriks

Letakkan persamaan dalam bentuk piawai dan kemudian gunakan matriks untuk menyelesaikan sistem persamaan.

$$2x+3y+5=0,3x-2y-12=0$$

Tuliskan persamaan dalam bentuk matriks.

$$\left(\begin{matrix}2&3\\3&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-5\\12\end{matrix}\right)$$

Darabkan ke kiri persamaan dengan matriks songsang bagi \left(\begin{matrix}2&3\\3&-2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\3&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&3\\3&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\3&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-5\\12\end{matrix}\right)$$

Matriks hasil darab dan sonsangnya adalah matriks identiti.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\3&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-5\\12\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\3&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-5\\12\end{matrix}\right)$$

Untuk matriks 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matriks songsang ialah \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), jadi persamaan matriks tersebut boleh ditulis semula sebagai masalah pendaraban matriks.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{2\left(-2\right)-3\times 3}&-\frac{3}{2\left(-2\right)-3\times 3}\\-\frac{3}{2\left(-2\right)-3\times 3}&\frac{2}{2\left(-2\right)-3\times 3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-5\\12\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{13}&\frac{3}{13}\\\frac{3}{13}&-\frac{2}{13}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-5\\12\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks tersebut.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{13}\left(-5\right)+\frac{3}{13}\times 12\\\frac{3}{13}\left(-5\right)-\frac{2}{13}\times 12\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\-3\end{matrix}\right)$$

Ekstrak unsur matriks x dan y.

$$x=2,y=-3$$

Langkah Menggunakan Penghapusan

Untuk menyelesaikan dengan penghapusan, pekali bagi salah satu daripada pemboleh ubah mestilah sama dalam kedua-dua persamaan supaya pemboleh ubah tersebut akan saling membatalkan apabila satu persamaan ditolak daripada yang satu lagi.

$$2x+3y+5=0,3x-2y-12=0$$

Untuk menjadikan 2x dan 3x sama, darabkan semua sebutan pada setiap belah persamaan pertama dengan 3 dan semua sebutan pada setiap belah yang kedua dengan 2.

$$3\times 2x+3\times 3y+3\times 5=0,2\times 3x+2\left(-2\right)y+2\left(-12\right)=0$$

Permudahkan.

$$6x+9y+15=0,6x-4y-24=0$$

Tolak 6x-4y-24=0 daripada 6x+9y+15=0 dengan menolak sebutan serupa pada setiap belah tanda sama dengan.

$$6x-6x+9y+4y+15+24=0$$

Tambahkan 6x pada -6x. Seubtan 6x dan -6x saling membatalkan dan meninggalkan persamaan dengan hanya satu pemboleh ubah yang boleh diselesaikan.

$$9y+4y+15+24=0$$

Tambahkan 9y pada 4y.

$$13y+15+24=0$$

Tambahkan 15 pada 24.

$$13y+39=0$$

Tolak 39 daripada kedua-dua belah persamaan.

$$13y=-39$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 13.

$$y=-3$$

Gantikan -3 dengan y dalam 3x-2y-12=0. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$3x-2\left(-3\right)-12=0$$

Darabkan -2 kali -3.

$$3x+6-12=0$$

Tambahkan 6 pada -12.

$$3x-6=0$$

Tambahkan 6 pada kedua-dua belah persamaan.

$$3x=6$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 3.

$$x=2$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=2,y=-3$$