Selesaikan {l}{2x+2y=6}{7y-5x=11}

$$\left. \begin{array} { l } { 2 x + 2 y = 6 } \\ { 7 y - 5 x = 11 } \end{array} \right.$$

Selesaikan untuk x, y

$$x=\frac{5}{6}\approx 0.833333333$$

$$y = \frac{13}{6} = 2\frac{1}{6} \approx 2.166666667$$

Langkah Menggunakan Penggantian

Untuk menyelesaikan sepasang persamaan menggunakan penggantian, mula-mula selesaikan satu daripada persamaan untuk salah satu daripada pemboleh ubah. Kemudian gantikan hasil untuk pemboleh ubah itu dalam persamaan lain.

$$2x+2y=6,-5x+7y=11$$

Pilih salah satu daripada persamaan dan selesaikannya untuk x dengan mengasingkan x di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$2x+2y=6$$

Tolak 2y daripada kedua-dua belah persamaan.

$$2x=-2y+6$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 2.

$$x=\frac{1}{2}\left(-2y+6\right)$$

Darabkan \frac{1}{2} kali -2y+6.

$$x=-y+3$$

Gantikan -y+3 dengan x dalam persamaan lain, -5x+7y=11.

$$-5\left(-y+3\right)+7y=11$$

Darabkan -5 kali -y+3.

$$5y-15+7y=11$$

Tambahkan 5y pada 7y.

$$12y-15=11$$

Tambahkan 15 pada kedua-dua belah persamaan.

$$12y=26$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 12.

$$y=\frac{13}{6}$$

Gantikan \frac{13}{6} dengan y dalam x=-y+3. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$x=-\frac{13}{6}+3$$

Tambahkan 3 pada -\frac{13}{6}.

$$x=\frac{5}{6}$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=\frac{5}{6},y=\frac{13}{6}$$

Langkah Menggunakan Matriks

Letakkan persamaan dalam bentuk piawai dan kemudian gunakan matriks untuk menyelesaikan sistem persamaan.

$$2x+2y=6,-5x+7y=11$$

Tuliskan persamaan dalam bentuk matriks.

$$\left(\begin{matrix}2&2\\-5&7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6\\11\end{matrix}\right)$$

Darabkan ke kiri persamaan dengan matriks songsang bagi \left(\begin{matrix}2&2\\-5&7\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&2\\-5&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&2\\-5&7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&2\\-5&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\11\end{matrix}\right)$$

Matriks hasil darab dan sonsangnya adalah matriks identiti.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&2\\-5&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\11\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&2\\-5&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\11\end{matrix}\right)$$

Untuk matriks 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matriks songsang ialah \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), jadi persamaan matriks tersebut boleh ditulis semula sebagai masalah pendaraban matriks.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{2\times 7-2\left(-5\right)}&-\frac{2}{2\times 7-2\left(-5\right)}\\-\frac{-5}{2\times 7-2\left(-5\right)}&\frac{2}{2\times 7-2\left(-5\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\11\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{24}&-\frac{1}{12}\\\frac{5}{24}&\frac{1}{12}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\11\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks tersebut.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{24}\times 6-\frac{1}{12}\times 11\\\frac{5}{24}\times 6+\frac{1}{12}\times 11\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{6}\\\frac{13}{6}\end{matrix}\right)$$

Ekstrak unsur matriks x dan y.

$$x=\frac{5}{6},y=\frac{13}{6}$$

Langkah Menggunakan Penghapusan

Untuk menyelesaikan dengan penghapusan, pekali bagi salah satu daripada pemboleh ubah mestilah sama dalam kedua-dua persamaan supaya pemboleh ubah tersebut akan saling membatalkan apabila satu persamaan ditolak daripada yang satu lagi.

$$2x+2y=6,-5x+7y=11$$

Untuk menjadikan 2x dan -5x sama, darabkan semua sebutan pada setiap belah persamaan pertama dengan -5 dan semua sebutan pada setiap belah yang kedua dengan 2.

$$-5\times 2x-5\times 2y=-5\times 6,2\left(-5\right)x+2\times 7y=2\times 11$$

Permudahkan.

$$-10x-10y=-30,-10x+14y=22$$

Tolak -10x+14y=22 daripada -10x-10y=-30 dengan menolak sebutan serupa pada setiap belah tanda sama dengan.

$$-10x+10x-10y-14y=-30-22$$

Tambahkan -10x pada 10x. Seubtan -10x dan 10x saling membatalkan dan meninggalkan persamaan dengan hanya satu pemboleh ubah yang boleh diselesaikan.

$$-10y-14y=-30-22$$

Tambahkan -10y pada -14y.

$$-24y=-30-22$$

Tambahkan -30 pada -22.

$$-24y=-52$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan -24.

$$y=\frac{13}{6}$$

Gantikan \frac{13}{6} dengan y dalam -5x+7y=11. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$-5x+7\times \frac{13}{6}=11$$

Darabkan 7 kali \frac{13}{6}.

$$-5x+\frac{91}{6}=11$$

Tolak \frac{91}{6} daripada kedua-dua belah persamaan.

$$-5x=-\frac{25}{6}$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan -5.

$$x=\frac{5}{6}$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=\frac{5}{6},y=\frac{13}{6}$$