Selesaikan {l}{2x+2y=4}{3x-2y=12}

$$\left. \begin{array} { l } { 2 x + 2 y = 4 } \\ { 3 x - 2 y = 12 } \end{array} \right.$$

Selesaikan untuk x, y

$$x = \frac{16}{5} = 3\frac{1}{5} = 3.2$$

$$y = -\frac{6}{5} = -1\frac{1}{5} = -1.2$$

Langkah Menggunakan Penggantian

Untuk menyelesaikan sepasang persamaan menggunakan penggantian, mula-mula selesaikan satu daripada persamaan untuk salah satu daripada pemboleh ubah. Kemudian gantikan hasil untuk pemboleh ubah itu dalam persamaan lain.

$$2x+2y=4,3x-2y=12$$

Pilih salah satu daripada persamaan dan selesaikannya untuk x dengan mengasingkan x di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$2x+2y=4$$

Tolak 2y daripada kedua-dua belah persamaan.

$$2x=-2y+4$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 2.

$$x=\frac{1}{2}\left(-2y+4\right)$$

Darabkan \frac{1}{2} kali -2y+4.

$$x=-y+2$$

Gantikan -y+2 dengan x dalam persamaan lain, 3x-2y=12.

$$3\left(-y+2\right)-2y=12$$

Darabkan 3 kali -y+2.

$$-3y+6-2y=12$$

Tambahkan -3y pada -2y.

$$-5y+6=12$$

Tolak 6 daripada kedua-dua belah persamaan.

$$-5y=6$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan -5.

$$y=-\frac{6}{5}$$

Gantikan -\frac{6}{5} dengan y dalam x=-y+2. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$x=-\left(-\frac{6}{5}\right)+2$$

Darabkan -1 kali -\frac{6}{5}.

$$x=\frac{6}{5}+2$$

Tambahkan 2 pada \frac{6}{5}.

$$x=\frac{16}{5}$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=\frac{16}{5},y=-\frac{6}{5}$$

Langkah Menggunakan Matriks

Letakkan persamaan dalam bentuk piawai dan kemudian gunakan matriks untuk menyelesaikan sistem persamaan.

$$2x+2y=4,3x-2y=12$$

Tuliskan persamaan dalam bentuk matriks.

$$\left(\begin{matrix}2&2\\3&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\12\end{matrix}\right)$$

Darabkan ke kiri persamaan dengan matriks songsang bagi \left(\begin{matrix}2&2\\3&-2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&2\\3&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&2\\3&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&2\\3&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\12\end{matrix}\right)$$

Matriks hasil darab dan sonsangnya adalah matriks identiti.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&2\\3&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\12\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&2\\3&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\12\end{matrix}\right)$$

Untuk matriks 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matriks songsang ialah \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), jadi persamaan matriks tersebut boleh ditulis semula sebagai masalah pendaraban matriks.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{2\left(-2\right)-2\times 3}&-\frac{2}{2\left(-2\right)-2\times 3}\\-\frac{3}{2\left(-2\right)-2\times 3}&\frac{2}{2\left(-2\right)-2\times 3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\12\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{5}&\frac{1}{5}\\\frac{3}{10}&-\frac{1}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\12\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks tersebut.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{5}\times 4+\frac{1}{5}\times 12\\\frac{3}{10}\times 4-\frac{1}{5}\times 12\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{16}{5}\\-\frac{6}{5}\end{matrix}\right)$$

Ekstrak unsur matriks x dan y.

$$x=\frac{16}{5},y=-\frac{6}{5}$$

Langkah Menggunakan Penghapusan

Untuk menyelesaikan dengan penghapusan, pekali bagi salah satu daripada pemboleh ubah mestilah sama dalam kedua-dua persamaan supaya pemboleh ubah tersebut akan saling membatalkan apabila satu persamaan ditolak daripada yang satu lagi.

$$2x+2y=4,3x-2y=12$$

Untuk menjadikan 2x dan 3x sama, darabkan semua sebutan pada setiap belah persamaan pertama dengan 3 dan semua sebutan pada setiap belah yang kedua dengan 2.

$$3\times 2x+3\times 2y=3\times 4,2\times 3x+2\left(-2\right)y=2\times 12$$

Permudahkan.

$$6x+6y=12,6x-4y=24$$

Tolak 6x-4y=24 daripada 6x+6y=12 dengan menolak sebutan serupa pada setiap belah tanda sama dengan.

$$6x-6x+6y+4y=12-24$$

Tambahkan 6x pada -6x. Seubtan 6x dan -6x saling membatalkan dan meninggalkan persamaan dengan hanya satu pemboleh ubah yang boleh diselesaikan.

$$6y+4y=12-24$$

Tambahkan 6y pada 4y.

$$10y=12-24$$

Tambahkan 12 pada -24.

$$10y=-12$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 10.

$$y=-\frac{6}{5}$$

Gantikan -\frac{6}{5} dengan y dalam 3x-2y=12. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$3x-2\left(-\frac{6}{5}\right)=12$$

Darabkan -2 kali -\frac{6}{5}.

$$3x+\frac{12}{5}=12$$

Tolak \frac{12}{5} daripada kedua-dua belah persamaan.

$$3x=\frac{48}{5}$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 3.

$$x=\frac{16}{5}$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=\frac{16}{5},y=-\frac{6}{5}$$