Selesaikan {l}{2x+2y=28}{x+3y=24}

$$\left. \begin{array} { l } { 2 x + 2 y = 28 } \\ { x + 3 y = 24 } \end{array} \right.$$

Selesaikan untuk x, y

$$x=9$$

$$y=5$$

Langkah Menggunakan Penggantian

Untuk menyelesaikan sepasang persamaan menggunakan penggantian, mula-mula selesaikan satu daripada persamaan untuk salah satu daripada pemboleh ubah. Kemudian gantikan hasil untuk pemboleh ubah itu dalam persamaan lain.

$$2x+2y=28,x+3y=24$$

Pilih salah satu daripada persamaan dan selesaikannya untuk x dengan mengasingkan x di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$2x+2y=28$$

Tolak 2y daripada kedua-dua belah persamaan.

$$2x=-2y+28$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 2.

$$x=\frac{1}{2}\left(-2y+28\right)$$

Darabkan \frac{1}{2} kali -2y+28.

$$x=-y+14$$

Gantikan -y+14 dengan x dalam persamaan lain, x+3y=24.

$$-y+14+3y=24$$

Tambahkan -y pada 3y.

$$2y+14=24$$

Tolak 14 daripada kedua-dua belah persamaan.

$$2y=10$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 2.

$$y=5$$

Gantikan 5 dengan y dalam x=-y+14. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$x=-5+14$$

Tambahkan 14 pada -5.

$$x=9$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=9,y=5$$

Langkah Menggunakan Matriks

Letakkan persamaan dalam bentuk piawai dan kemudian gunakan matriks untuk menyelesaikan sistem persamaan.

$$2x+2y=28,x+3y=24$$

Tuliskan persamaan dalam bentuk matriks.

$$\left(\begin{matrix}2&2\\1&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}28\\24\end{matrix}\right)$$

Darabkan ke kiri persamaan dengan matriks songsang bagi \left(\begin{matrix}2&2\\1&3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&2\\1&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&2\\1&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&2\\1&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}28\\24\end{matrix}\right)$$

Matriks hasil darab dan sonsangnya adalah matriks identiti.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&2\\1&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}28\\24\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&2\\1&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}28\\24\end{matrix}\right)$$

Untuk matriks 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matriks songsang ialah \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), jadi persamaan matriks tersebut boleh ditulis semula sebagai masalah pendaraban matriks.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{2\times 3-2}&-\frac{2}{2\times 3-2}\\-\frac{1}{2\times 3-2}&\frac{2}{2\times 3-2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}28\\24\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{4}&-\frac{1}{2}\\-\frac{1}{4}&\frac{1}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}28\\24\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks tersebut.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{4}\times 28-\frac{1}{2}\times 24\\-\frac{1}{4}\times 28+\frac{1}{2}\times 24\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}9\\5\end{matrix}\right)$$

Ekstrak unsur matriks x dan y.

$$x=9,y=5$$

Langkah Menggunakan Penghapusan

Untuk menyelesaikan dengan penghapusan, pekali bagi salah satu daripada pemboleh ubah mestilah sama dalam kedua-dua persamaan supaya pemboleh ubah tersebut akan saling membatalkan apabila satu persamaan ditolak daripada yang satu lagi.

$$2x+2y=28,x+3y=24$$

Untuk menjadikan 2x dan x sama, darabkan semua sebutan pada setiap belah persamaan pertama dengan 1 dan semua sebutan pada setiap belah yang kedua dengan 2.

$$2x+2y=28,2x+2\times 3y=2\times 24$$

Permudahkan.

$$2x+2y=28,2x+6y=48$$

Tolak 2x+6y=48 daripada 2x+2y=28 dengan menolak sebutan serupa pada setiap belah tanda sama dengan.

$$2x-2x+2y-6y=28-48$$

Tambahkan 2x pada -2x. Seubtan 2x dan -2x saling membatalkan dan meninggalkan persamaan dengan hanya satu pemboleh ubah yang boleh diselesaikan.

$$2y-6y=28-48$$

Tambahkan 2y pada -6y.

$$-4y=28-48$$

Tambahkan 28 pada -48.

$$-4y=-20$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan -4.

$$y=5$$

Gantikan 5 dengan y dalam x+3y=24. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$x+3\times 5=24$$

Darabkan 3 kali 5.

$$x+15=24$$

Tolak 15 daripada kedua-dua belah persamaan.

$$x=9$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=9,y=5$$