Selesaikan {l}{2x+2y=0}{3x-y=2}

$$\left. \begin{array} { l } { 2 x + 2 y = 0 } \\ { 3 x - y = 2 } \end{array} \right.$$

Selesaikan untuk x, y

$$x=\frac{1}{2}=0.5$$

$$y=-\frac{1}{2}=-0.5$$

Langkah Menggunakan Penggantian

Untuk menyelesaikan sepasang persamaan menggunakan penggantian, mula-mula selesaikan satu daripada persamaan untuk salah satu daripada pemboleh ubah. Kemudian gantikan hasil untuk pemboleh ubah itu dalam persamaan lain.

$$2x+2y=0,3x-y=2$$

Pilih salah satu daripada persamaan dan selesaikannya untuk x dengan mengasingkan x di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$2x+2y=0$$

Tolak 2y daripada kedua-dua belah persamaan.

$$2x=-2y$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 2.

$$x=\frac{1}{2}\left(-2\right)y$$

Darabkan \frac{1}{2} kali -2y.

$$x=-y$$

Gantikan -y dengan x dalam persamaan lain, 3x-y=2.

$$3\left(-1\right)y-y=2$$

Darabkan 3 kali -y.

$$-3y-y=2$$

Tambahkan -3y pada -y.

$$-4y=2$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan -4.

$$y=-\frac{1}{2}$$

Gantikan -\frac{1}{2} dengan y dalam x=-y. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$x=-\left(-\frac{1}{2}\right)$$

Darabkan -1 kali -\frac{1}{2}.

$$x=\frac{1}{2}$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=\frac{1}{2},y=-\frac{1}{2}$$

Langkah Menggunakan Matriks

Letakkan persamaan dalam bentuk piawai dan kemudian gunakan matriks untuk menyelesaikan sistem persamaan.

$$2x+2y=0,3x-y=2$$

Tuliskan persamaan dalam bentuk matriks.

$$\left(\begin{matrix}2&2\\3&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\2\end{matrix}\right)$$

Darabkan ke kiri persamaan dengan matriks songsang bagi \left(\begin{matrix}2&2\\3&-1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&2\\3&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&2\\3&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&2\\3&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\2\end{matrix}\right)$$

Matriks hasil darab dan sonsangnya adalah matriks identiti.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&2\\3&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\2\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&2\\3&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\2\end{matrix}\right)$$

Untuk matriks 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matriks songsang ialah \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), jadi persamaan matriks tersebut boleh ditulis semula sebagai masalah pendaraban matriks.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{2\left(-1\right)-2\times 3}&-\frac{2}{2\left(-1\right)-2\times 3}\\-\frac{3}{2\left(-1\right)-2\times 3}&\frac{2}{2\left(-1\right)-2\times 3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\2\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{8}&\frac{1}{4}\\\frac{3}{8}&-\frac{1}{4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\2\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks tersebut.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4}\times 2\\-\frac{1}{4}\times 2\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}\\-\frac{1}{2}\end{matrix}\right)$$

Ekstrak unsur matriks x dan y.

$$x=\frac{1}{2},y=-\frac{1}{2}$$

Langkah Menggunakan Penghapusan

Untuk menyelesaikan dengan penghapusan, pekali bagi salah satu daripada pemboleh ubah mestilah sama dalam kedua-dua persamaan supaya pemboleh ubah tersebut akan saling membatalkan apabila satu persamaan ditolak daripada yang satu lagi.

$$2x+2y=0,3x-y=2$$

Untuk menjadikan 2x dan 3x sama, darabkan semua sebutan pada setiap belah persamaan pertama dengan 3 dan semua sebutan pada setiap belah yang kedua dengan 2.

$$3\times 2x+3\times 2y=0,2\times 3x+2\left(-1\right)y=2\times 2$$

Permudahkan.

$$6x+6y=0,6x-2y=4$$

Tolak 6x-2y=4 daripada 6x+6y=0 dengan menolak sebutan serupa pada setiap belah tanda sama dengan.

$$6x-6x+6y+2y=-4$$

Tambahkan 6x pada -6x. Seubtan 6x dan -6x saling membatalkan dan meninggalkan persamaan dengan hanya satu pemboleh ubah yang boleh diselesaikan.

$$6y+2y=-4$$

Tambahkan 6y pada 2y.

$$8y=-4$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 8.

$$y=-\frac{1}{2}$$

Gantikan -\frac{1}{2} dengan y dalam 3x-y=2. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$3x-\left(-\frac{1}{2}\right)=2$$

Tolak \frac{1}{2} daripada kedua-dua belah persamaan.

$$3x=\frac{3}{2}$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 3.

$$x=\frac{1}{2}$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=\frac{1}{2},y=-\frac{1}{2}$$