Selesaikan {l}{2w+1n=5050}{3w+2n=9050}

$$\left. \begin{array} { l } { 2 w + 1 n = 5050 } \\ { 3 w + 2 n = 9050 } \end{array} \right.$$

Selesaikan untuk w, n

$$w=1050$$

$$n=2950$$

Langkah Menggunakan Penggantian

Untuk menyelesaikan sepasang persamaan menggunakan penggantian, mula-mula selesaikan satu daripada persamaan untuk salah satu daripada pemboleh ubah. Kemudian gantikan hasil untuk pemboleh ubah itu dalam persamaan lain.

$$2w+n=5050,3w+2n=9050$$

Pilih salah satu daripada persamaan dan selesaikannya untuk w dengan mengasingkan w di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$2w+n=5050$$

Tolak n daripada kedua-dua belah persamaan.

$$2w=-n+5050$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 2.

$$w=\frac{1}{2}\left(-n+5050\right)$$

Darabkan \frac{1}{2} kali -n+5050.

$$w=-\frac{1}{2}n+2525$$

Gantikan -\frac{n}{2}+2525 dengan w dalam persamaan lain, 3w+2n=9050.

$$3\left(-\frac{1}{2}n+2525\right)+2n=9050$$

Darabkan 3 kali -\frac{n}{2}+2525.

$$-\frac{3}{2}n+7575+2n=9050$$

Tambahkan -\frac{3n}{2} pada 2n.

$$\frac{1}{2}n+7575=9050$$

Tolak 7575 daripada kedua-dua belah persamaan.

$$\frac{1}{2}n=1475$$

Darabkan kedua-dua belah dengan 2.

$$n=2950$$

Gantikan 2950 dengan n dalam w=-\frac{1}{2}n+2525. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk w.

$$w=-\frac{1}{2}\times 2950+2525$$

Darabkan -\frac{1}{2} kali 2950.

$$w=-1475+2525$$

Tambahkan 2525 pada -1475.

$$w=1050$$

Sistem kini diselesaikan.

$$w=1050,n=2950$$

Langkah Menggunakan Matriks

Letakkan persamaan dalam bentuk piawai dan kemudian gunakan matriks untuk menyelesaikan sistem persamaan.

$$2w+n=5050,3w+2n=9050$$

Tuliskan persamaan dalam bentuk matriks.

$$\left(\begin{matrix}2&1\\3&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}w\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5050\\9050\end{matrix}\right)$$

Darabkan ke kiri persamaan dengan matriks songsang bagi \left(\begin{matrix}2&1\\3&2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&1\\3&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}w\\n\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5050\\9050\end{matrix}\right)$$

Matriks hasil darab dan sonsangnya adalah matriks identiti.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}w\\n\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5050\\9050\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$\left(\begin{matrix}w\\n\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5050\\9050\end{matrix}\right)$$

Untuk matriks 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matriks songsang ialah \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), jadi persamaan matriks tersebut boleh ditulis semula sebagai masalah pendaraban matriks.

$$\left(\begin{matrix}w\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{2\times 2-3}&-\frac{1}{2\times 2-3}\\-\frac{3}{2\times 2-3}&\frac{2}{2\times 2-3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5050\\9050\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}w\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2&-1\\-3&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5050\\9050\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks tersebut.

$$\left(\begin{matrix}w\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\times 5050-9050\\-3\times 5050+2\times 9050\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}w\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1050\\2950\end{matrix}\right)$$

Ekstrak unsur matriks w dan n.

$$w=1050,n=2950$$

Langkah Menggunakan Penghapusan

Untuk menyelesaikan dengan penghapusan, pekali bagi salah satu daripada pemboleh ubah mestilah sama dalam kedua-dua persamaan supaya pemboleh ubah tersebut akan saling membatalkan apabila satu persamaan ditolak daripada yang satu lagi.

$$2w+n=5050,3w+2n=9050$$

Untuk menjadikan 2w dan 3w sama, darabkan semua sebutan pada setiap belah persamaan pertama dengan 3 dan semua sebutan pada setiap belah yang kedua dengan 2.

$$3\times 2w+3n=3\times 5050,2\times 3w+2\times 2n=2\times 9050$$

Permudahkan.

$$6w+3n=15150,6w+4n=18100$$

Tolak 6w+4n=18100 daripada 6w+3n=15150 dengan menolak sebutan serupa pada setiap belah tanda sama dengan.

$$6w-6w+3n-4n=15150-18100$$

Tambahkan 6w pada -6w. Seubtan 6w dan -6w saling membatalkan dan meninggalkan persamaan dengan hanya satu pemboleh ubah yang boleh diselesaikan.

$$3n-4n=15150-18100$$

Tambahkan 3n pada -4n.

$$-n=15150-18100$$

Tambahkan 15150 pada -18100.

$$-n=-2950$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan -1.

$$n=2950$$

Gantikan 2950 dengan n dalam 3w+2n=9050. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk w.

$$3w+2\times 2950=9050$$

Darabkan 2 kali 2950.

$$3w+5900=9050$$

Tolak 5900 daripada kedua-dua belah persamaan.

$$3w=3150$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 3.

$$w=1050$$

Sistem kini diselesaikan.

$$w=1050,n=2950$$