Selesaikan {l}{2r+3s=37}{8r+9s=124}

$$\left. \begin{array} { l } { 2 r + 3 s = 37 } \\ { 8 r + 9 s = 124 } \end{array} \right.$$

Selesaikan untuk r, s

$$r = \frac{13}{2} = 6\frac{1}{2} = 6.5$$

$$s=8$$

Langkah Menggunakan Penggantian

Untuk menyelesaikan sepasang persamaan menggunakan penggantian, mula-mula selesaikan satu daripada persamaan untuk salah satu daripada pemboleh ubah. Kemudian gantikan hasil untuk pemboleh ubah itu dalam persamaan lain.

$$2r+3s=37,8r+9s=124$$

Pilih salah satu daripada persamaan dan selesaikannya untuk r dengan mengasingkan r di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$2r+3s=37$$

Tolak 3s daripada kedua-dua belah persamaan.

$$2r=-3s+37$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 2.

$$r=\frac{1}{2}\left(-3s+37\right)$$

Darabkan \frac{1}{2} kali -3s+37.

$$r=-\frac{3}{2}s+\frac{37}{2}$$

Gantikan \frac{-3s+37}{2} dengan r dalam persamaan lain, 8r+9s=124.

$$8\left(-\frac{3}{2}s+\frac{37}{2}\right)+9s=124$$

Darabkan 8 kali \frac{-3s+37}{2}.

$$-12s+148+9s=124$$

Tambahkan -12s pada 9s.

$$-3s+148=124$$

Tolak 148 daripada kedua-dua belah persamaan.

$$-3s=-24$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan -3.

$$s=8$$

Gantikan 8 dengan s dalam r=-\frac{3}{2}s+\frac{37}{2}. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk r.

$$r=-\frac{3}{2}\times 8+\frac{37}{2}$$

Darabkan -\frac{3}{2} kali 8.

$$r=-12+\frac{37}{2}$$

Tambahkan \frac{37}{2} pada -12.

$$r=\frac{13}{2}$$

Sistem kini diselesaikan.

$$r=\frac{13}{2},s=8$$

Langkah Menggunakan Matriks

Letakkan persamaan dalam bentuk piawai dan kemudian gunakan matriks untuk menyelesaikan sistem persamaan.

$$2r+3s=37,8r+9s=124$$

Tuliskan persamaan dalam bentuk matriks.

$$\left(\begin{matrix}2&3\\8&9\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}r\\s\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}37\\124\end{matrix}\right)$$

Darabkan ke kiri persamaan dengan matriks songsang bagi \left(\begin{matrix}2&3\\8&9\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\8&9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&3\\8&9\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}r\\s\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\8&9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}37\\124\end{matrix}\right)$$

Matriks hasil darab dan sonsangnya adalah matriks identiti.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}r\\s\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\8&9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}37\\124\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$\left(\begin{matrix}r\\s\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\8&9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}37\\124\end{matrix}\right)$$

Untuk matriks 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matriks songsang ialah \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), jadi persamaan matriks tersebut boleh ditulis semula sebagai masalah pendaraban matriks.

$$\left(\begin{matrix}r\\s\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{9}{2\times 9-3\times 8}&-\frac{3}{2\times 9-3\times 8}\\-\frac{8}{2\times 9-3\times 8}&\frac{2}{2\times 9-3\times 8}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}37\\124\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}r\\s\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{2}&\frac{1}{2}\\\frac{4}{3}&-\frac{1}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}37\\124\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks tersebut.

$$\left(\begin{matrix}r\\s\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{2}\times 37+\frac{1}{2}\times 124\\\frac{4}{3}\times 37-\frac{1}{3}\times 124\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}r\\s\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{13}{2}\\8\end{matrix}\right)$$

Ekstrak unsur matriks r dan s.

$$r=\frac{13}{2},s=8$$

Langkah Menggunakan Penghapusan

Untuk menyelesaikan dengan penghapusan, pekali bagi salah satu daripada pemboleh ubah mestilah sama dalam kedua-dua persamaan supaya pemboleh ubah tersebut akan saling membatalkan apabila satu persamaan ditolak daripada yang satu lagi.

$$2r+3s=37,8r+9s=124$$

Untuk menjadikan 2r dan 8r sama, darabkan semua sebutan pada setiap belah persamaan pertama dengan 8 dan semua sebutan pada setiap belah yang kedua dengan 2.

$$8\times 2r+8\times 3s=8\times 37,2\times 8r+2\times 9s=2\times 124$$

Permudahkan.

$$16r+24s=296,16r+18s=248$$

Tolak 16r+18s=248 daripada 16r+24s=296 dengan menolak sebutan serupa pada setiap belah tanda sama dengan.

$$16r-16r+24s-18s=296-248$$

Tambahkan 16r pada -16r. Seubtan 16r dan -16r saling membatalkan dan meninggalkan persamaan dengan hanya satu pemboleh ubah yang boleh diselesaikan.

$$24s-18s=296-248$$

Tambahkan 24s pada -18s.

$$6s=296-248$$

Tambahkan 296 pada -248.

$$6s=48$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 6.

$$s=8$$

Gantikan 8 dengan s dalam 8r+9s=124. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk r.

$$8r+9\times 8=124$$

Darabkan 9 kali 8.

$$8r+72=124$$

Tolak 72 daripada kedua-dua belah persamaan.

$$8r=52$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 8.

$$r=\frac{13}{2}$$

Sistem kini diselesaikan.

$$r=\frac{13}{2},s=8$$