Selesaikan {l}{2m-3n=1}{m+n=3}

$$\left. \begin{array} { l } { 2 m - 3 n = 1 } \\ { m + n = 3 } \end{array} \right.$$

Selesaikan untuk m, n

$$m=2$$

$$n=1$$

Langkah Menggunakan Penggantian

Untuk menyelesaikan sepasang persamaan menggunakan penggantian, mula-mula selesaikan satu daripada persamaan untuk salah satu daripada pemboleh ubah. Kemudian gantikan hasil untuk pemboleh ubah itu dalam persamaan lain.

$$2m-3n=1,m+n=3$$

Pilih salah satu daripada persamaan dan selesaikannya untuk m dengan mengasingkan m di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$2m-3n=1$$

Tambahkan 3n pada kedua-dua belah persamaan.

$$2m=3n+1$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 2.

$$m=\frac{1}{2}\left(3n+1\right)$$

Darabkan \frac{1}{2} kali 3n+1.

$$m=\frac{3}{2}n+\frac{1}{2}$$

Gantikan \frac{3n+1}{2} dengan m dalam persamaan lain, m+n=3.

$$\frac{3}{2}n+\frac{1}{2}+n=3$$

Tambahkan \frac{3n}{2} pada n.

$$\frac{5}{2}n+\frac{1}{2}=3$$

Tolak \frac{1}{2} daripada kedua-dua belah persamaan.

$$\frac{5}{2}n=\frac{5}{2}$$

Bahagikan kedua-dua belah persamaan dengan \frac{5}{2} yang bersamaan dengan mendarab kedua-dua belah dengan salingan pecahan.

$$n=1$$

Gantikan 1 dengan n dalam m=\frac{3}{2}n+\frac{1}{2}. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk m.

$$m=\frac{3+1}{2}$$

Tambahkan \frac{1}{2} pada \frac{3}{2} dengan mencari satu penyebut sepunya dan menambah pengangka. Kemudian kurangkan pecahan kepada sebutan terendah yang mungkin.

$$m=2$$

Sistem kini diselesaikan.

$$m=2,n=1$$

Langkah Menggunakan Matriks

Letakkan persamaan dalam bentuk piawai dan kemudian gunakan matriks untuk menyelesaikan sistem persamaan.

$$2m-3n=1,m+n=3$$

Tuliskan persamaan dalam bentuk matriks.

$$\left(\begin{matrix}2&-3\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\3\end{matrix}\right)$$

Darabkan ke kiri persamaan dengan matriks songsang bagi \left(\begin{matrix}2&-3\\1&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&-3\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\3\end{matrix}\right)$$

Matriks hasil darab dan sonsangnya adalah matriks identiti.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\3\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\3\end{matrix}\right)$$

Untuk matriks 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matriks songsang ialah \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), jadi persamaan matriks tersebut boleh ditulis semula sebagai masalah pendaraban matriks.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2-\left(-3\right)}&-\frac{-3}{2-\left(-3\right)}\\-\frac{1}{2-\left(-3\right)}&\frac{2}{2-\left(-3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\3\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{5}&\frac{3}{5}\\-\frac{1}{5}&\frac{2}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\3\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks tersebut.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{5}+\frac{3}{5}\times 3\\-\frac{1}{5}+\frac{2}{5}\times 3\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\1\end{matrix}\right)$$

Ekstrak unsur matriks m dan n.

$$m=2,n=1$$

Langkah Menggunakan Penghapusan

Untuk menyelesaikan dengan penghapusan, pekali bagi salah satu daripada pemboleh ubah mestilah sama dalam kedua-dua persamaan supaya pemboleh ubah tersebut akan saling membatalkan apabila satu persamaan ditolak daripada yang satu lagi.

$$2m-3n=1,m+n=3$$

Untuk menjadikan 2m dan m sama, darabkan semua sebutan pada setiap belah persamaan pertama dengan 1 dan semua sebutan pada setiap belah yang kedua dengan 2.

$$2m-3n=1,2m+2n=2\times 3$$

Permudahkan.

$$2m-3n=1,2m+2n=6$$

Tolak 2m+2n=6 daripada 2m-3n=1 dengan menolak sebutan serupa pada setiap belah tanda sama dengan.

$$2m-2m-3n-2n=1-6$$

Tambahkan 2m pada -2m. Seubtan 2m dan -2m saling membatalkan dan meninggalkan persamaan dengan hanya satu pemboleh ubah yang boleh diselesaikan.

$$-3n-2n=1-6$$

Tambahkan -3n pada -2n.

$$-5n=1-6$$

Tambahkan 1 pada -6.

$$-5n=-5$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan -5.

$$n=1$$

Gantikan 1 dengan n dalam m+n=3. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk m.

$$m+1=3$$

Tolak 1 daripada kedua-dua belah persamaan.

$$m=2$$

Sistem kini diselesaikan.

$$m=2,n=1$$