Selesaikan {l}{2m+3n=22}{m-2n=6}

$$\left. \begin{array} { l } { 2 m + 3 n = 22 } \\ { m - 2 n = 6 } \end{array} \right.$$

Selesaikan untuk m, n

$$m = \frac{62}{7} = 8\frac{6}{7} \approx 8.857142857$$

$$n = \frac{10}{7} = 1\frac{3}{7} \approx 1.428571429$$

Langkah Menggunakan Penggantian

Untuk menyelesaikan sepasang persamaan menggunakan penggantian, mula-mula selesaikan satu daripada persamaan untuk salah satu daripada pemboleh ubah. Kemudian gantikan hasil untuk pemboleh ubah itu dalam persamaan lain.

$$2m+3n=22,m-2n=6$$

Pilih salah satu daripada persamaan dan selesaikannya untuk m dengan mengasingkan m di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$2m+3n=22$$

Tolak 3n daripada kedua-dua belah persamaan.

$$2m=-3n+22$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 2.

$$m=\frac{1}{2}\left(-3n+22\right)$$

Darabkan \frac{1}{2} kali -3n+22.

$$m=-\frac{3}{2}n+11$$

Gantikan -\frac{3n}{2}+11 dengan m dalam persamaan lain, m-2n=6.

$$-\frac{3}{2}n+11-2n=6$$

Tambahkan -\frac{3n}{2} pada -2n.

$$-\frac{7}{2}n+11=6$$

Tolak 11 daripada kedua-dua belah persamaan.

$$-\frac{7}{2}n=-5$$

Bahagikan kedua-dua belah persamaan dengan -\frac{7}{2} yang bersamaan dengan mendarab kedua-dua belah dengan salingan pecahan.

$$n=\frac{10}{7}$$

Gantikan \frac{10}{7} dengan n dalam m=-\frac{3}{2}n+11. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk m.

$$m=-\frac{3}{2}\times \frac{10}{7}+11$$

Darabkan -\frac{3}{2} dengan \frac{10}{7} dengan mendarabkan pengangka dengan pengangka dan penyebut dengan penyebut. Kemudian kurangkan pecahan tersebut ke sebutan terendah yang mungkin.

$$m=-\frac{15}{7}+11$$

Tambahkan 11 pada -\frac{15}{7}.

$$m=\frac{62}{7}$$

Sistem kini diselesaikan.

$$m=\frac{62}{7},n=\frac{10}{7}$$

Langkah Menggunakan Matriks

Letakkan persamaan dalam bentuk piawai dan kemudian gunakan matriks untuk menyelesaikan sistem persamaan.

$$2m+3n=22,m-2n=6$$

Tuliskan persamaan dalam bentuk matriks.

$$\left(\begin{matrix}2&3\\1&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}22\\6\end{matrix}\right)$$

Darabkan ke kiri persamaan dengan matriks songsang bagi \left(\begin{matrix}2&3\\1&-2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&3\\1&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}22\\6\end{matrix}\right)$$

Matriks hasil darab dan sonsangnya adalah matriks identiti.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}22\\6\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}22\\6\end{matrix}\right)$$

Untuk matriks 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matriks songsang ialah \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), jadi persamaan matriks tersebut boleh ditulis semula sebagai masalah pendaraban matriks.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{2\left(-2\right)-3}&-\frac{3}{2\left(-2\right)-3}\\-\frac{1}{2\left(-2\right)-3}&\frac{2}{2\left(-2\right)-3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}22\\6\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{7}&\frac{3}{7}\\\frac{1}{7}&-\frac{2}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}22\\6\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks tersebut.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{7}\times 22+\frac{3}{7}\times 6\\\frac{1}{7}\times 22-\frac{2}{7}\times 6\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{62}{7}\\\frac{10}{7}\end{matrix}\right)$$

Ekstrak unsur matriks m dan n.

$$m=\frac{62}{7},n=\frac{10}{7}$$

Langkah Menggunakan Penghapusan

Untuk menyelesaikan dengan penghapusan, pekali bagi salah satu daripada pemboleh ubah mestilah sama dalam kedua-dua persamaan supaya pemboleh ubah tersebut akan saling membatalkan apabila satu persamaan ditolak daripada yang satu lagi.

$$2m+3n=22,m-2n=6$$

Untuk menjadikan 2m dan m sama, darabkan semua sebutan pada setiap belah persamaan pertama dengan 1 dan semua sebutan pada setiap belah yang kedua dengan 2.

$$2m+3n=22,2m+2\left(-2\right)n=2\times 6$$

Permudahkan.

$$2m+3n=22,2m-4n=12$$

Tolak 2m-4n=12 daripada 2m+3n=22 dengan menolak sebutan serupa pada setiap belah tanda sama dengan.

$$2m-2m+3n+4n=22-12$$

Tambahkan 2m pada -2m. Seubtan 2m dan -2m saling membatalkan dan meninggalkan persamaan dengan hanya satu pemboleh ubah yang boleh diselesaikan.

$$3n+4n=22-12$$

Tambahkan 3n pada 4n.

$$7n=22-12$$

Tambahkan 22 pada -12.

$$7n=10$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 7.

$$n=\frac{10}{7}$$

Gantikan \frac{10}{7} dengan n dalam m-2n=6. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk m.

$$m-2\times \frac{10}{7}=6$$

Darabkan -2 kali \frac{10}{7}.

$$m-\frac{20}{7}=6$$

Tambahkan \frac{20}{7} pada kedua-dua belah persamaan.

$$m=\frac{62}{7}$$

Sistem kini diselesaikan.

$$m=\frac{62}{7},n=\frac{10}{7}$$