Selesaikan {l}{2bx+ay=2ab}{bx-ay=4ab}

$$\left. \begin{array} { l } { 2 b x + a y = 2 a b } \\ { b x - a y = 4 a b } \end{array} \right.$$

Selesaikan untuk x, y (complex solution)

$$\left\{\begin{matrix}\\x=2a\text{, }y=-2b\text{, }&\text{unconditionally}\\x=0\text{, }y\in \mathrm{C}\text{, }&a=0\\x\in \mathrm{C}\text{, }y=0\text{, }&b=0\\x\in \mathrm{C}\text{, }y\in \mathrm{C}\text{, }&b=0\text{ and }a=0\end{matrix}\right.$$

Langkah Menggunakan Penggantian

Untuk menyelesaikan sepasang persamaan menggunakan penggantian, mula-mula selesaikan satu daripada persamaan untuk salah satu daripada pemboleh ubah. Kemudian gantikan hasil untuk pemboleh ubah itu dalam persamaan lain.

$$2bx+ay=2ab,bx+\left(-a\right)y=4ab$$

Pilih salah satu daripada persamaan dan selesaikannya untuk x dengan mengasingkan x di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$2bx+ay=2ab$$

Tolak ay daripada kedua-dua belah persamaan.

$$2bx=\left(-a\right)y+2ab$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 2b.

$$x=\frac{1}{2b}\left(\left(-a\right)y+2ab\right)$$

Darabkan \frac{1}{2b} kali a\left(-y+2b\right).

$$x=\left(-\frac{a}{2b}\right)y+a$$

Gantikan a-\frac{ay}{2b} dengan x dalam persamaan lain, bx+\left(-a\right)y=4ab.

$$b\left(\left(-\frac{a}{2b}\right)y+a\right)+\left(-a\right)y=4ab$$

Darabkan b kali a-\frac{ay}{2b}.

$$\left(-\frac{a}{2}\right)y+ab+\left(-a\right)y=4ab$$

Tambahkan -\frac{ay}{2} pada -ay.

$$\left(-\frac{3a}{2}\right)y+ab=4ab$$

Tolak ba daripada kedua-dua belah persamaan.

$$\left(-\frac{3a}{2}\right)y=3ab$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan -\frac{3a}{2}.

$$y=-2b$$

Gantikan -2b dengan y dalam x=\left(-\frac{a}{2b}\right)y+a. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$x=\left(-\frac{a}{2b}\right)\left(-2b\right)+a$$

Darabkan -\frac{a}{2b} kali -2b.

$$x=a+a$$

Tambahkan a pada a.

$$x=2a$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=2a,y=-2b$$

Langkah Menggunakan Matriks

Letakkan persamaan dalam bentuk piawai dan kemudian gunakan matriks untuk menyelesaikan sistem persamaan.

$$2bx+ay=2ab,bx+\left(-a\right)y=4ab$$

Tuliskan persamaan dalam bentuk matriks.

$$\left(\begin{matrix}2b&a\\b&-a\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2ab\\4ab\end{matrix}\right)$$

Darabkan ke kiri persamaan dengan matriks songsang bagi \left(\begin{matrix}2b&a\\b&-a\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2b&a\\b&-a\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2b&a\\b&-a\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2b&a\\b&-a\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2ab\\4ab\end{matrix}\right)$$

Matriks hasil darab dan sonsangnya adalah matriks identiti.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2b&a\\b&-a\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2ab\\4ab\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2b&a\\b&-a\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2ab\\4ab\end{matrix}\right)$$

Untuk matriks 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matriks songsang ialah \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), jadi persamaan matriks tersebut boleh ditulis semula sebagai masalah pendaraban matriks.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{a}{2b\left(-a\right)-ab}&-\frac{a}{2b\left(-a\right)-ab}\\-\frac{b}{2b\left(-a\right)-ab}&\frac{2b}{2b\left(-a\right)-ab}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2ab\\4ab\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3b}&\frac{1}{3b}\\\frac{1}{3a}&-\frac{2}{3a}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2ab\\4ab\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks tersebut.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3b}\times 2ab+\frac{1}{3b}\times 4ab\\\frac{1}{3a}\times 2ab+\left(-\frac{2}{3a}\right)\times 4ab\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2a\\-2b\end{matrix}\right)$$

Ekstrak unsur matriks x dan y.

$$x=2a,y=-2b$$

Langkah Menggunakan Penghapusan

Untuk menyelesaikan dengan penghapusan, pekali bagi salah satu daripada pemboleh ubah mestilah sama dalam kedua-dua persamaan supaya pemboleh ubah tersebut akan saling membatalkan apabila satu persamaan ditolak daripada yang satu lagi.

$$2bx+ay=2ab,bx+\left(-a\right)y=4ab$$

Untuk menjadikan 2bx dan bx sama, darabkan semua sebutan pada setiap belah persamaan pertama dengan b dan semua sebutan pada setiap belah yang kedua dengan 2b.

$$b\times 2bx+bay=b\times 2ab,2bbx+2b\left(-a\right)y=2b\times 4ab$$

Permudahkan.

$$2b^{2}x+aby=2ab^{2},2b^{2}x+\left(-2ab\right)y=8ab^{2}$$

Tolak 2b^{2}x+\left(-2ab\right)y=8ab^{2} daripada 2b^{2}x+aby=2ab^{2} dengan menolak sebutan serupa pada setiap belah tanda sama dengan.

$$2b^{2}x+\left(-2b^{2}\right)x+aby+2aby=2ab^{2}-8ab^{2}$$

Tambahkan 2b^{2}x pada -2b^{2}x. Seubtan 2b^{2}x dan -2b^{2}x saling membatalkan dan meninggalkan persamaan dengan hanya satu pemboleh ubah yang boleh diselesaikan.

$$aby+2aby=2ab^{2}-8ab^{2}$$

Tambahkan bay pada 2bay.

$$3aby=2ab^{2}-8ab^{2}$$

Tambahkan 2ab^{2} pada -8ab^{2}.

$$3aby=-6ab^{2}$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 3ba.

$$y=-2b$$

Gantikan -2b dengan y dalam bx+\left(-a\right)y=4ab. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$bx+\left(-a\right)\left(-2b\right)=4ab$$

Darabkan -a kali -2b.

$$bx+2ab=4ab$$

Tolak 2ba daripada kedua-dua belah persamaan.

$$bx=2ab$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan b.

$$x=2a$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=2a,y=-2b$$

Selesaikan untuk x, y

$$\left\{\begin{matrix}\\x=2a\text{, }y=-2b\text{, }&\text{unconditionally}\\x=0\text{, }y\in \mathrm{R}\text{, }&a=0\\x\in \mathrm{R}\text{, }y=0\text{, }&b=0\\x\in \mathrm{R}\text{, }y\in \mathrm{R}\text{, }&b=0\text{ and }a=0\end{matrix}\right.$$

Langkah Menggunakan Penggantian

Untuk menyelesaikan sepasang persamaan menggunakan penggantian, mula-mula selesaikan satu daripada persamaan untuk salah satu daripada pemboleh ubah. Kemudian gantikan hasil untuk pemboleh ubah itu dalam persamaan lain.

$$2bx+ay=2ab,bx+\left(-a\right)y=4ab$$

Pilih salah satu daripada persamaan dan selesaikannya untuk x dengan mengasingkan x di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$2bx+ay=2ab$$

Tolak ay daripada kedua-dua belah persamaan.

$$2bx=\left(-a\right)y+2ab$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 2b.

$$x=\frac{1}{2b}\left(\left(-a\right)y+2ab\right)$$

Darabkan \frac{1}{2b} kali a\left(-y+2b\right).

$$x=\left(-\frac{a}{2b}\right)y+a$$

Gantikan a-\frac{ay}{2b} dengan x dalam persamaan lain, bx+\left(-a\right)y=4ab.

$$b\left(\left(-\frac{a}{2b}\right)y+a\right)+\left(-a\right)y=4ab$$

Darabkan b kali a-\frac{ay}{2b}.

$$\left(-\frac{a}{2}\right)y+ab+\left(-a\right)y=4ab$$

Tambahkan -\frac{ay}{2} pada -ay.

$$\left(-\frac{3a}{2}\right)y+ab=4ab$$

Tolak ba daripada kedua-dua belah persamaan.

$$\left(-\frac{3a}{2}\right)y=3ab$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan -\frac{3a}{2}.

$$y=-2b$$

Gantikan -2b dengan y dalam x=\left(-\frac{a}{2b}\right)y+a. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$x=\left(-\frac{a}{2b}\right)\left(-2b\right)+a$$

Darabkan -\frac{a}{2b} kali -2b.

$$x=a+a$$

Tambahkan a pada a.

$$x=2a$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=2a,y=-2b$$

Langkah Menggunakan Matriks

Letakkan persamaan dalam bentuk piawai dan kemudian gunakan matriks untuk menyelesaikan sistem persamaan.

$$2bx+ay=2ab,bx+\left(-a\right)y=4ab$$

Tuliskan persamaan dalam bentuk matriks.

$$\left(\begin{matrix}2b&a\\b&-a\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2ab\\4ab\end{matrix}\right)$$

Darabkan ke kiri persamaan dengan matriks songsang bagi \left(\begin{matrix}2b&a\\b&-a\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2b&a\\b&-a\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2b&a\\b&-a\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2b&a\\b&-a\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2ab\\4ab\end{matrix}\right)$$

Matriks hasil darab dan sonsangnya adalah matriks identiti.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2b&a\\b&-a\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2ab\\4ab\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2b&a\\b&-a\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2ab\\4ab\end{matrix}\right)$$

Untuk matriks 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matriks songsang ialah \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), jadi persamaan matriks tersebut boleh ditulis semula sebagai masalah pendaraban matriks.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{a}{2b\left(-a\right)-ab}&-\frac{a}{2b\left(-a\right)-ab}\\-\frac{b}{2b\left(-a\right)-ab}&\frac{2b}{2b\left(-a\right)-ab}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2ab\\4ab\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3b}&\frac{1}{3b}\\\frac{1}{3a}&-\frac{2}{3a}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2ab\\4ab\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks tersebut.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3b}\times 2ab+\frac{1}{3b}\times 4ab\\\frac{1}{3a}\times 2ab+\left(-\frac{2}{3a}\right)\times 4ab\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2a\\-2b\end{matrix}\right)$$

Ekstrak unsur matriks x dan y.

$$x=2a,y=-2b$$

Langkah Menggunakan Penghapusan

Untuk menyelesaikan dengan penghapusan, pekali bagi salah satu daripada pemboleh ubah mestilah sama dalam kedua-dua persamaan supaya pemboleh ubah tersebut akan saling membatalkan apabila satu persamaan ditolak daripada yang satu lagi.

$$2bx+ay=2ab,bx+\left(-a\right)y=4ab$$

Untuk menjadikan 2bx dan bx sama, darabkan semua sebutan pada setiap belah persamaan pertama dengan b dan semua sebutan pada setiap belah yang kedua dengan 2b.

$$b\times 2bx+bay=b\times 2ab,2bbx+2b\left(-a\right)y=2b\times 4ab$$

Permudahkan.

$$2b^{2}x+aby=2ab^{2},2b^{2}x+\left(-2ab\right)y=8ab^{2}$$

Tolak 2b^{2}x+\left(-2ab\right)y=8ab^{2} daripada 2b^{2}x+aby=2ab^{2} dengan menolak sebutan serupa pada setiap belah tanda sama dengan.

$$2b^{2}x+\left(-2b^{2}\right)x+aby+2aby=2ab^{2}-8ab^{2}$$

Tambahkan 2b^{2}x pada -2b^{2}x. Seubtan 2b^{2}x dan -2b^{2}x saling membatalkan dan meninggalkan persamaan dengan hanya satu pemboleh ubah yang boleh diselesaikan.

$$aby+2aby=2ab^{2}-8ab^{2}$$

Tambahkan bay pada 2bay.

$$3aby=2ab^{2}-8ab^{2}$$

Tambahkan 2ab^{2} pada -8ab^{2}.

$$3aby=-6ab^{2}$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 3ba.

$$y=-2b$$

Gantikan -2b dengan y dalam bx+\left(-a\right)y=4ab. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$bx+\left(-a\right)\left(-2b\right)=4ab$$

Darabkan -a kali -2b.

$$bx+2ab=4ab$$

Tolak 2ba daripada kedua-dua belah persamaan.

$$bx=2ab$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan b.

$$x=2a$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=2a,y=-2b$$