Selesaikan {l}{2a+b=8}{3a+2b=13}

$$\left. \begin{array} { l } { 2 a + b = 8 } \\ { 3 a + 2 b = 13 } \end{array} \right.$$

Selesaikan untuk a, b

$$a=3$$

$$b=2$$

Langkah Menggunakan Penggantian

Untuk menyelesaikan sepasang persamaan menggunakan penggantian, mula-mula selesaikan satu daripada persamaan untuk salah satu daripada pemboleh ubah. Kemudian gantikan hasil untuk pemboleh ubah itu dalam persamaan lain.

$$2a+b=8,3a+2b=13$$

Pilih salah satu daripada persamaan dan selesaikannya untuk a dengan mengasingkan a di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$2a+b=8$$

Tolak b daripada kedua-dua belah persamaan.

$$2a=-b+8$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 2.

$$a=\frac{1}{2}\left(-b+8\right)$$

Darabkan \frac{1}{2} kali -b+8.

$$a=-\frac{1}{2}b+4$$

Gantikan -\frac{b}{2}+4 dengan a dalam persamaan lain, 3a+2b=13.

$$3\left(-\frac{1}{2}b+4\right)+2b=13$$

Darabkan 3 kali -\frac{b}{2}+4.

$$-\frac{3}{2}b+12+2b=13$$

Tambahkan -\frac{3b}{2} pada 2b.

$$\frac{1}{2}b+12=13$$

Tolak 12 daripada kedua-dua belah persamaan.

$$\frac{1}{2}b=1$$

Darabkan kedua-dua belah dengan 2.

$$b=2$$

Gantikan 2 dengan b dalam a=-\frac{1}{2}b+4. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk a.

$$a=-\frac{1}{2}\times 2+4$$

Darabkan -\frac{1}{2} kali 2.

$$a=-1+4$$

Tambahkan 4 pada -1.

$$a=3$$

Sistem kini diselesaikan.

$$a=3,b=2$$

Langkah Menggunakan Matriks

Letakkan persamaan dalam bentuk piawai dan kemudian gunakan matriks untuk menyelesaikan sistem persamaan.

$$2a+b=8,3a+2b=13$$

Tuliskan persamaan dalam bentuk matriks.

$$\left(\begin{matrix}2&1\\3&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}8\\13\end{matrix}\right)$$

Darabkan ke kiri persamaan dengan matriks songsang bagi \left(\begin{matrix}2&1\\3&2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&1\\3&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\13\end{matrix}\right)$$

Matriks hasil darab dan sonsangnya adalah matriks identiti.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\13\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\13\end{matrix}\right)$$

Untuk matriks 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matriks songsang ialah \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), jadi persamaan matriks tersebut boleh ditulis semula sebagai masalah pendaraban matriks.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{2\times 2-3}&-\frac{1}{2\times 2-3}\\-\frac{3}{2\times 2-3}&\frac{2}{2\times 2-3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}8\\13\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2&-1\\-3&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}8\\13\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks tersebut.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\times 8-13\\-3\times 8+2\times 13\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\2\end{matrix}\right)$$

Ekstrak unsur matriks a dan b.

$$a=3,b=2$$

Langkah Menggunakan Penghapusan

Untuk menyelesaikan dengan penghapusan, pekali bagi salah satu daripada pemboleh ubah mestilah sama dalam kedua-dua persamaan supaya pemboleh ubah tersebut akan saling membatalkan apabila satu persamaan ditolak daripada yang satu lagi.

$$2a+b=8,3a+2b=13$$

Untuk menjadikan 2a dan 3a sama, darabkan semua sebutan pada setiap belah persamaan pertama dengan 3 dan semua sebutan pada setiap belah yang kedua dengan 2.

$$3\times 2a+3b=3\times 8,2\times 3a+2\times 2b=2\times 13$$

Permudahkan.

$$6a+3b=24,6a+4b=26$$

Tolak 6a+4b=26 daripada 6a+3b=24 dengan menolak sebutan serupa pada setiap belah tanda sama dengan.

$$6a-6a+3b-4b=24-26$$

Tambahkan 6a pada -6a. Seubtan 6a dan -6a saling membatalkan dan meninggalkan persamaan dengan hanya satu pemboleh ubah yang boleh diselesaikan.

$$3b-4b=24-26$$

Tambahkan 3b pada -4b.

$$-b=24-26$$

Tambahkan 24 pada -26.

$$-b=-2$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan -1.

$$b=2$$

Gantikan 2 dengan b dalam 3a+2b=13. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk a.

$$3a+2\times 2=13$$

Darabkan 2 kali 2.

$$3a+4=13$$

Tolak 4 daripada kedua-dua belah persamaan.

$$3a=9$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 3.

$$a=3$$

Sistem kini diselesaikan.

$$a=3,b=2$$