Selesaikan {l}{2a+b=5}{a+2b=1}

$$\left. \begin{array} { l } { 2 a + b = 5 } \\ { a + 2 b = 1 } \end{array} \right.$$

Selesaikan untuk a, b

$$a=3$$

$$b=-1$$

Langkah Menggunakan Penggantian

Untuk menyelesaikan sepasang persamaan menggunakan penggantian, mula-mula selesaikan satu daripada persamaan untuk salah satu daripada pemboleh ubah. Kemudian gantikan hasil untuk pemboleh ubah itu dalam persamaan lain.

$$2a+b=5,a+2b=1$$

Pilih salah satu daripada persamaan dan selesaikannya untuk a dengan mengasingkan a di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$2a+b=5$$

Tolak b daripada kedua-dua belah persamaan.

$$2a=-b+5$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 2.

$$a=\frac{1}{2}\left(-b+5\right)$$

Darabkan \frac{1}{2} kali -b+5.

$$a=-\frac{1}{2}b+\frac{5}{2}$$

Gantikan \frac{-b+5}{2} dengan a dalam persamaan lain, a+2b=1.

$$-\frac{1}{2}b+\frac{5}{2}+2b=1$$

Tambahkan -\frac{b}{2} pada 2b.

$$\frac{3}{2}b+\frac{5}{2}=1$$

Tolak \frac{5}{2} daripada kedua-dua belah persamaan.

$$\frac{3}{2}b=-\frac{3}{2}$$

Bahagikan kedua-dua belah persamaan dengan \frac{3}{2} yang bersamaan dengan mendarab kedua-dua belah dengan salingan pecahan.

$$b=-1$$

Gantikan -1 dengan b dalam a=-\frac{1}{2}b+\frac{5}{2}. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk a.

$$a=-\frac{1}{2}\left(-1\right)+\frac{5}{2}$$

Darabkan -\frac{1}{2} kali -1.

$$a=\frac{1+5}{2}$$

Tambahkan \frac{5}{2} pada \frac{1}{2} dengan mencari satu penyebut sepunya dan menambah pengangka. Kemudian kurangkan pecahan kepada sebutan terendah yang mungkin.

$$a=3$$

Sistem kini diselesaikan.

$$a=3,b=-1$$

Langkah Menggunakan Matriks

Letakkan persamaan dalam bentuk piawai dan kemudian gunakan matriks untuk menyelesaikan sistem persamaan.

$$2a+b=5,a+2b=1$$

Tuliskan persamaan dalam bentuk matriks.

$$\left(\begin{matrix}2&1\\1&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\1\end{matrix}\right)$$

Darabkan ke kiri persamaan dengan matriks songsang bagi \left(\begin{matrix}2&1\\1&2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&1\\1&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\1\end{matrix}\right)$$

Matriks hasil darab dan sonsangnya adalah matriks identiti.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\1\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\1\end{matrix}\right)$$

Untuk matriks 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matriks songsang ialah \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), jadi persamaan matriks tersebut boleh ditulis semula sebagai masalah pendaraban matriks.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{2\times 2-1}&-\frac{1}{2\times 2-1}\\-\frac{1}{2\times 2-1}&\frac{2}{2\times 2-1}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\1\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{3}&-\frac{1}{3}\\-\frac{1}{3}&\frac{2}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\1\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks tersebut.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{3}\times 5-\frac{1}{3}\\-\frac{1}{3}\times 5+\frac{2}{3}\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\-1\end{matrix}\right)$$

Ekstrak unsur matriks a dan b.

$$a=3,b=-1$$

Langkah Menggunakan Penghapusan

Untuk menyelesaikan dengan penghapusan, pekali bagi salah satu daripada pemboleh ubah mestilah sama dalam kedua-dua persamaan supaya pemboleh ubah tersebut akan saling membatalkan apabila satu persamaan ditolak daripada yang satu lagi.

$$2a+b=5,a+2b=1$$

Untuk menjadikan 2a dan a sama, darabkan semua sebutan pada setiap belah persamaan pertama dengan 1 dan semua sebutan pada setiap belah yang kedua dengan 2.

$$2a+b=5,2a+2\times 2b=2$$

Permudahkan.

$$2a+b=5,2a+4b=2$$

Tolak 2a+4b=2 daripada 2a+b=5 dengan menolak sebutan serupa pada setiap belah tanda sama dengan.

$$2a-2a+b-4b=5-2$$

Tambahkan 2a pada -2a. Seubtan 2a dan -2a saling membatalkan dan meninggalkan persamaan dengan hanya satu pemboleh ubah yang boleh diselesaikan.

$$b-4b=5-2$$

Tambahkan b pada -4b.

$$-3b=5-2$$

Tambahkan 5 pada -2.

$$-3b=3$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan -3.

$$b=-1$$

Gantikan -1 dengan b dalam a+2b=1. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk a.

$$a+2\left(-1\right)=1$$

Darabkan 2 kali -1.

$$a-2=1$$

Tambahkan 2 pada kedua-dua belah persamaan.

$$a=3$$

Sistem kini diselesaikan.

$$a=3,b=-1$$