Selesaikan {l}{2(3x+y)=1/2}{1/2(2x+8y)=3/2}

$$\left. \begin{array} { l } { 2 ( 3 x + y ) = \frac { 1 } { 2 } } \\ { \frac { 1 } { 2 } ( 2 x + 8 y ) = \frac { 3 } { 2 } } \end{array} \right.$$

Selesaikan untuk x, y

$$x=-\frac{1}{22}\approx -0.045454545$$

$$y=\frac{17}{44}\approx 0.386363636$$

Langkah Menggunakan Penggantian

Pertimbangkan persamaan pertama. Bahagikan kedua-dua belah dengan 2.

$$3x+y=\frac{\frac{1}{2}}{2}$$

Nyatakan \frac{\frac{1}{2}}{2} sebagai pecahan tunggal.

$$3x+y=\frac{1}{2\times 2}$$

Darabkan 2 dan 2 untuk mendapatkan 4.

$$3x+y=\frac{1}{4}$$

Pertimbangkan persamaan kedua. Darabkan kedua-dua belah dengan 2, salingan \frac{1}{2}.

$$2x+8y=\frac{3}{2}\times 2$$

Darabkan \frac{3}{2} dan 2 untuk mendapatkan 3.

$$2x+8y=3$$

Untuk menyelesaikan sepasang persamaan menggunakan penggantian, mula-mula selesaikan satu daripada persamaan untuk salah satu daripada pemboleh ubah. Kemudian gantikan hasil untuk pemboleh ubah itu dalam persamaan lain.

$$3x+y=\frac{1}{4},2x+8y=3$$

Pilih salah satu daripada persamaan dan selesaikannya untuk x dengan mengasingkan x di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$3x+y=\frac{1}{4}$$

Tolak y daripada kedua-dua belah persamaan.

$$3x=-y+\frac{1}{4}$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 3.

$$x=\frac{1}{3}\left(-y+\frac{1}{4}\right)$$

Darabkan \frac{1}{3} kali -y+\frac{1}{4}.

$$x=-\frac{1}{3}y+\frac{1}{12}$$

Gantikan -\frac{y}{3}+\frac{1}{12} dengan x dalam persamaan lain, 2x+8y=3.

$$2\left(-\frac{1}{3}y+\frac{1}{12}\right)+8y=3$$

Darabkan 2 kali -\frac{y}{3}+\frac{1}{12}.

$$-\frac{2}{3}y+\frac{1}{6}+8y=3$$

Tambahkan -\frac{2y}{3} pada 8y.

$$\frac{22}{3}y+\frac{1}{6}=3$$

Tolak \frac{1}{6} daripada kedua-dua belah persamaan.

$$\frac{22}{3}y=\frac{17}{6}$$

Bahagikan kedua-dua belah persamaan dengan \frac{22}{3} yang bersamaan dengan mendarab kedua-dua belah dengan salingan pecahan.

$$y=\frac{17}{44}$$

Gantikan \frac{17}{44} dengan y dalam x=-\frac{1}{3}y+\frac{1}{12}. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$x=-\frac{1}{3}\times \frac{17}{44}+\frac{1}{12}$$

Darabkan -\frac{1}{3} dengan \frac{17}{44} dengan mendarabkan pengangka dengan pengangka dan penyebut dengan penyebut. Kemudian kurangkan pecahan tersebut ke sebutan terendah yang mungkin.

$$x=-\frac{17}{132}+\frac{1}{12}$$

Tambahkan \frac{1}{12} pada -\frac{17}{132} dengan mencari satu penyebut sepunya dan menambah pengangka. Kemudian kurangkan pecahan kepada sebutan terendah yang mungkin.

$$x=-\frac{1}{22}$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=-\frac{1}{22},y=\frac{17}{44}$$

Langkah Menggunakan Matriks

Pertimbangkan persamaan pertama. Bahagikan kedua-dua belah dengan 2.

$$3x+y=\frac{\frac{1}{2}}{2}$$

Nyatakan \frac{\frac{1}{2}}{2} sebagai pecahan tunggal.

$$3x+y=\frac{1}{2\times 2}$$

Darabkan 2 dan 2 untuk mendapatkan 4.

$$3x+y=\frac{1}{4}$$

Pertimbangkan persamaan kedua. Darabkan kedua-dua belah dengan 2, salingan \frac{1}{2}.

$$2x+8y=\frac{3}{2}\times 2$$

Darabkan \frac{3}{2} dan 2 untuk mendapatkan 3.

$$2x+8y=3$$

Letakkan persamaan dalam bentuk piawai dan kemudian gunakan matriks untuk menyelesaikan sistem persamaan.

$$3x+y=\frac{1}{4},2x+8y=3$$

Tuliskan persamaan dalam bentuk matriks.

$$\left(\begin{matrix}3&1\\2&8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4}\\3\end{matrix}\right)$$

Darabkan ke kiri persamaan dengan matriks songsang bagi \left(\begin{matrix}3&1\\2&8\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\2&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&1\\2&8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\2&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}\frac{1}{4}\\3\end{matrix}\right)$$

Matriks hasil darab dan sonsangnya adalah matriks identiti.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\2&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}\frac{1}{4}\\3\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\2&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}\frac{1}{4}\\3\end{matrix}\right)$$

Untuk matriks 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matriks songsang ialah \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), jadi persamaan matriks tersebut boleh ditulis semula sebagai masalah pendaraban matriks.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{8}{3\times 8-2}&-\frac{1}{3\times 8-2}\\-\frac{2}{3\times 8-2}&\frac{3}{3\times 8-2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}\frac{1}{4}\\3\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{11}&-\frac{1}{22}\\-\frac{1}{11}&\frac{3}{22}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}\frac{1}{4}\\3\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks tersebut.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{11}\times \frac{1}{4}-\frac{1}{22}\times 3\\-\frac{1}{11}\times \frac{1}{4}+\frac{3}{22}\times 3\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{22}\\\frac{17}{44}\end{matrix}\right)$$

Ekstrak unsur matriks x dan y.

$$x=-\frac{1}{22},y=\frac{17}{44}$$

Langkah Menggunakan Penghapusan

Pertimbangkan persamaan pertama. Bahagikan kedua-dua belah dengan 2.

$$3x+y=\frac{\frac{1}{2}}{2}$$

Nyatakan \frac{\frac{1}{2}}{2} sebagai pecahan tunggal.

$$3x+y=\frac{1}{2\times 2}$$

Darabkan 2 dan 2 untuk mendapatkan 4.

$$3x+y=\frac{1}{4}$$

Pertimbangkan persamaan kedua. Darabkan kedua-dua belah dengan 2, salingan \frac{1}{2}.

$$2x+8y=\frac{3}{2}\times 2$$

Darabkan \frac{3}{2} dan 2 untuk mendapatkan 3.

$$2x+8y=3$$

Untuk menyelesaikan dengan penghapusan, pekali bagi salah satu daripada pemboleh ubah mestilah sama dalam kedua-dua persamaan supaya pemboleh ubah tersebut akan saling membatalkan apabila satu persamaan ditolak daripada yang satu lagi.

$$3x+y=\frac{1}{4},2x+8y=3$$

Untuk menjadikan 3x dan 2x sama, darabkan semua sebutan pada setiap belah persamaan pertama dengan 2 dan semua sebutan pada setiap belah yang kedua dengan 3.

$$2\times 3x+2y=2\times \frac{1}{4},3\times 2x+3\times 8y=3\times 3$$

Permudahkan.

$$6x+2y=\frac{1}{2},6x+24y=9$$

Tolak 6x+24y=9 daripada 6x+2y=\frac{1}{2} dengan menolak sebutan serupa pada setiap belah tanda sama dengan.

$$6x-6x+2y-24y=\frac{1}{2}-9$$

Tambahkan 6x pada -6x. Seubtan 6x dan -6x saling membatalkan dan meninggalkan persamaan dengan hanya satu pemboleh ubah yang boleh diselesaikan.

$$2y-24y=\frac{1}{2}-9$$

Tambahkan 2y pada -24y.

$$-22y=\frac{1}{2}-9$$

Tambahkan \frac{1}{2} pada -9.

$$-22y=-\frac{17}{2}$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan -22.

$$y=\frac{17}{44}$$

Gantikan \frac{17}{44} dengan y dalam 2x+8y=3. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$2x+8\times \frac{17}{44}=3$$

Darabkan 8 kali \frac{17}{44}.

$$2x+\frac{34}{11}=3$$

Tolak \frac{34}{11} daripada kedua-dua belah persamaan.

$$2x=-\frac{1}{11}$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 2.

$$x=-\frac{1}{22}$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=-\frac{1}{22},y=\frac{17}{44}$$