Selesaikan {l}{2(2x)=6y}{4x+2(6y)=360}

$$\left. \begin{array} { l } { 2 ( 2 x ) = 6 y } \\ { 4 x + 2 ( 6 y ) = 360 } \end{array} \right.$$

Selesaikan untuk x, y

$$x=30$$

$$y=20$$

Langkah Menggunakan Penggantian

Pertimbangkan persamaan pertama. Darabkan 2 dan 2 untuk mendapatkan 4.

$$4x=6y$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 4.

$$x=\frac{1}{4}\times 6y$$

Darabkan \frac{1}{4} kali 6y.

$$x=\frac{3}{2}y$$

Gantikan \frac{3y}{2} dengan x dalam persamaan lain, 4x+12y=360.

$$4\times \frac{3}{2}y+12y=360$$

Darabkan 4 kali \frac{3y}{2}.

$$6y+12y=360$$

Tambahkan 6y pada 12y.

$$18y=360$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 18.

$$y=20$$

Gantikan 20 dengan y dalam x=\frac{3}{2}y. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$x=\frac{3}{2}\times 20$$

Darabkan \frac{3}{2} kali 20.

$$x=30$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=30,y=20$$

Langkah Menggunakan Matriks

Pertimbangkan persamaan pertama. Darabkan 2 dan 2 untuk mendapatkan 4.

$$4x=6y$$

Tolak 6y daripada kedua-dua belah.

$$4x-6y=0$$

Pertimbangkan persamaan kedua. Darabkan 2 dan 6 untuk mendapatkan 12.

$$4x+12y=360$$

Letakkan persamaan dalam bentuk piawai dan kemudian gunakan matriks untuk menyelesaikan sistem persamaan.

$$4x-6y=0,4x+12y=360$$

Tuliskan persamaan dalam bentuk matriks.

$$\left(\begin{matrix}4&-6\\4&12\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\360\end{matrix}\right)$$

Darabkan ke kiri persamaan dengan matriks songsang bagi \left(\begin{matrix}4&-6\\4&12\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&-6\\4&12\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&-6\\4&12\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-6\\4&12\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\360\end{matrix}\right)$$

Matriks hasil darab dan sonsangnya adalah matriks identiti.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-6\\4&12\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\360\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-6\\4&12\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\360\end{matrix}\right)$$

Untuk matriks 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matriks songsang ialah \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), jadi persamaan matriks tersebut boleh ditulis semula sebagai masalah pendaraban matriks.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{12}{4\times 12-\left(-6\times 4\right)}&-\frac{-6}{4\times 12-\left(-6\times 4\right)}\\-\frac{4}{4\times 12-\left(-6\times 4\right)}&\frac{4}{4\times 12-\left(-6\times 4\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\360\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{6}&\frac{1}{12}\\-\frac{1}{18}&\frac{1}{18}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\360\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks tersebut.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{12}\times 360\\\frac{1}{18}\times 360\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}30\\20\end{matrix}\right)$$

Ekstrak unsur matriks x dan y.

$$x=30,y=20$$

Langkah Menggunakan Penghapusan

Pertimbangkan persamaan pertama. Darabkan 2 dan 2 untuk mendapatkan 4.

$$4x=6y$$

Tolak 6y daripada kedua-dua belah.

$$4x-6y=0$$

Pertimbangkan persamaan kedua. Darabkan 2 dan 6 untuk mendapatkan 12.

$$4x+12y=360$$

Untuk menyelesaikan dengan penghapusan, pekali bagi salah satu daripada pemboleh ubah mestilah sama dalam kedua-dua persamaan supaya pemboleh ubah tersebut akan saling membatalkan apabila satu persamaan ditolak daripada yang satu lagi.

$$4x-6y=0,4x+12y=360$$

Tolak 4x+12y=360 daripada 4x-6y=0 dengan menolak sebutan serupa pada setiap belah tanda sama dengan.

$$4x-4x-6y-12y=-360$$

Tambahkan 4x pada -4x. Seubtan 4x dan -4x saling membatalkan dan meninggalkan persamaan dengan hanya satu pemboleh ubah yang boleh diselesaikan.

$$-6y-12y=-360$$

Tambahkan -6y pada -12y.

$$-18y=-360$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan -18.

$$y=20$$

Gantikan 20 dengan y dalam 4x+12y=360. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$4x+12\times 20=360$$

Darabkan 12 kali 20.

$$4x+240=360$$

Tolak 240 daripada kedua-dua belah persamaan.

$$4x=120$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 4.

$$x=30$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=30,y=20$$