Selesaikan {l}{2+3x-y=20}{x+2y=13}

$$\left. \begin{array} { l } { 2 + 3 x - y = 20 } \\ { x + 2 y = 13 } \end{array} \right.$$

Selesaikan untuk x, y

$$x=7$$

$$y=3$$

Langkah Menggunakan Penggantian

Untuk menyelesaikan sepasang persamaan menggunakan penggantian, mula-mula selesaikan satu daripada persamaan untuk salah satu daripada pemboleh ubah. Kemudian gantikan hasil untuk pemboleh ubah itu dalam persamaan lain.

$$3x-y+2=20,x+2y=13$$

Pilih salah satu daripada persamaan dan selesaikannya untuk x dengan mengasingkan x di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$3x-y+2=20$$

Tolak 2 daripada kedua-dua belah persamaan.

$$3x-y=18$$

Tambahkan y pada kedua-dua belah persamaan.

$$3x=y+18$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 3.

$$x=\frac{1}{3}\left(y+18\right)$$

Darabkan \frac{1}{3} kali y+18.

$$x=\frac{1}{3}y+6$$

Gantikan \frac{y}{3}+6 dengan x dalam persamaan lain, x+2y=13.

$$\frac{1}{3}y+6+2y=13$$

Tambahkan \frac{y}{3} pada 2y.

$$\frac{7}{3}y+6=13$$

Tolak 6 daripada kedua-dua belah persamaan.

$$\frac{7}{3}y=7$$

Bahagikan kedua-dua belah persamaan dengan \frac{7}{3} yang bersamaan dengan mendarab kedua-dua belah dengan salingan pecahan.

$$y=3$$

Gantikan 3 dengan y dalam x=\frac{1}{3}y+6. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$x=\frac{1}{3}\times 3+6$$

Darabkan \frac{1}{3} kali 3.

$$x=1+6$$

Tambahkan 6 pada 1.

$$x=7$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=7,y=3$$

Langkah Menggunakan Matriks

Letakkan persamaan dalam bentuk piawai dan kemudian gunakan matriks untuk menyelesaikan sistem persamaan.

$$3x-y+2=20,x+2y=13$$

Tuliskan persamaan dalam bentuk matriks.

$$\left(\begin{matrix}3&-1\\1&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}18\\13\end{matrix}\right)$$

Darabkan ke kiri persamaan dengan matriks songsang bagi \left(\begin{matrix}3&-1\\1&2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&-1\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&-1\\1&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-1\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}18\\13\end{matrix}\right)$$

Matriks hasil darab dan sonsangnya adalah matriks identiti.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-1\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}18\\13\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-1\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}18\\13\end{matrix}\right)$$

Untuk matriks 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matriks songsang ialah \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), jadi persamaan matriks tersebut boleh ditulis semula sebagai masalah pendaraban matriks.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{3\times 2-\left(-1\right)}&-\frac{-1}{3\times 2-\left(-1\right)}\\-\frac{1}{3\times 2-\left(-1\right)}&\frac{3}{3\times 2-\left(-1\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}18\\13\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{7}&\frac{1}{7}\\-\frac{1}{7}&\frac{3}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}18\\13\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks tersebut.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{7}\times 18+\frac{1}{7}\times 13\\-\frac{1}{7}\times 18+\frac{3}{7}\times 13\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}7\\3\end{matrix}\right)$$

Ekstrak unsur matriks x dan y.

$$x=7,y=3$$

Langkah Menggunakan Penghapusan

Untuk menyelesaikan dengan penghapusan, pekali bagi salah satu daripada pemboleh ubah mestilah sama dalam kedua-dua persamaan supaya pemboleh ubah tersebut akan saling membatalkan apabila satu persamaan ditolak daripada yang satu lagi.

$$3x-y+2=20,x+2y=13$$

Untuk menjadikan 3x dan x sama, darabkan semua sebutan pada setiap belah persamaan pertama dengan 1 dan semua sebutan pada setiap belah yang kedua dengan 3.

$$3x-y+2=20,3x+3\times 2y=3\times 13$$

Permudahkan.

$$3x-y+2=20,3x+6y=39$$

Tolak 3x+6y=39 daripada 3x-y+2=20 dengan menolak sebutan serupa pada setiap belah tanda sama dengan.

$$3x-3x-y-6y+2=20-39$$

Tambahkan 3x pada -3x. Seubtan 3x dan -3x saling membatalkan dan meninggalkan persamaan dengan hanya satu pemboleh ubah yang boleh diselesaikan.

$$-y-6y+2=20-39$$

Tambahkan -y pada -6y.

$$-7y+2=20-39$$

Tambahkan 20 pada -39.

$$-7y+2=-19$$

Tolak 2 daripada kedua-dua belah persamaan.

$$-7y=-21$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan -7.

$$y=3$$

Gantikan 3 dengan y dalam x+2y=13. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$x+2\times 3=13$$

Darabkan 2 kali 3.

$$x+6=13$$

Tolak 6 daripada kedua-dua belah persamaan.

$$x=7$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=7,y=3$$