Selesaikan {l}{19x+3y=1}{19x+4y=0}

$$\left. \begin{array} { l } { 19 x + 3 y = 1 } \\ { 19 x + 4 y = 0 } \end{array} \right.$$

Selesaikan untuk x, y

$$x=\frac{4}{19}\approx 0.210526316$$

$$y=-1$$

Langkah Menggunakan Penggantian

Untuk menyelesaikan sepasang persamaan menggunakan penggantian, mula-mula selesaikan satu daripada persamaan untuk salah satu daripada pemboleh ubah. Kemudian gantikan hasil untuk pemboleh ubah itu dalam persamaan lain.

$$19x+3y=1,19x+4y=0$$

Pilih salah satu daripada persamaan dan selesaikannya untuk x dengan mengasingkan x di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$19x+3y=1$$

Tolak 3y daripada kedua-dua belah persamaan.

$$19x=-3y+1$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 19.

$$x=\frac{1}{19}\left(-3y+1\right)$$

Darabkan \frac{1}{19} kali -3y+1.

$$x=-\frac{3}{19}y+\frac{1}{19}$$

Gantikan \frac{-3y+1}{19} dengan x dalam persamaan lain, 19x+4y=0.

$$19\left(-\frac{3}{19}y+\frac{1}{19}\right)+4y=0$$

Darabkan 19 kali \frac{-3y+1}{19}.

$$-3y+1+4y=0$$

Tambahkan -3y pada 4y.

$$y+1=0$$

Tolak 1 daripada kedua-dua belah persamaan.

$$y=-1$$

Gantikan -1 dengan y dalam x=-\frac{3}{19}y+\frac{1}{19}. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$x=-\frac{3}{19}\left(-1\right)+\frac{1}{19}$$

Darabkan -\frac{3}{19} kali -1.

$$x=\frac{3+1}{19}$$

Tambahkan \frac{1}{19} pada \frac{3}{19} dengan mencari satu penyebut sepunya dan menambah pengangka. Kemudian kurangkan pecahan kepada sebutan terendah yang mungkin.

$$x=\frac{4}{19}$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=\frac{4}{19},y=-1$$

Langkah Menggunakan Matriks

Letakkan persamaan dalam bentuk piawai dan kemudian gunakan matriks untuk menyelesaikan sistem persamaan.

$$19x+3y=1,19x+4y=0$$

Tuliskan persamaan dalam bentuk matriks.

$$\left(\begin{matrix}19&3\\19&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\0\end{matrix}\right)$$

Darabkan ke kiri persamaan dengan matriks songsang bagi \left(\begin{matrix}19&3\\19&4\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}19&3\\19&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}19&3\\19&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}19&3\\19&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\0\end{matrix}\right)$$

Matriks hasil darab dan sonsangnya adalah matriks identiti.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}19&3\\19&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\0\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}19&3\\19&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\0\end{matrix}\right)$$

Untuk matriks 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matriks songsang ialah \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), jadi persamaan matriks tersebut boleh ditulis semula sebagai masalah pendaraban matriks.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{19\times 4-3\times 19}&-\frac{3}{19\times 4-3\times 19}\\-\frac{19}{19\times 4-3\times 19}&\frac{19}{19\times 4-3\times 19}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\0\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{19}&-\frac{3}{19}\\-1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\0\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks tersebut.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{19}\\-1\end{matrix}\right)$$

Ekstrak unsur matriks x dan y.

$$x=\frac{4}{19},y=-1$$

Langkah Menggunakan Penghapusan

Untuk menyelesaikan dengan penghapusan, pekali bagi salah satu daripada pemboleh ubah mestilah sama dalam kedua-dua persamaan supaya pemboleh ubah tersebut akan saling membatalkan apabila satu persamaan ditolak daripada yang satu lagi.

$$19x+3y=1,19x+4y=0$$

Tolak 19x+4y=0 daripada 19x+3y=1 dengan menolak sebutan serupa pada setiap belah tanda sama dengan.

$$19x-19x+3y-4y=1$$

Tambahkan 19x pada -19x. Seubtan 19x dan -19x saling membatalkan dan meninggalkan persamaan dengan hanya satu pemboleh ubah yang boleh diselesaikan.

$$3y-4y=1$$

Tambahkan 3y pada -4y.

$$-y=1$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan -1.

$$y=-1$$

Gantikan -1 dengan y dalam 19x+4y=0. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$19x+4\left(-1\right)=0$$

Darabkan 4 kali -1.

$$19x-4=0$$

Tambahkan 4 pada kedua-dua belah persamaan.

$$19x=4$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 19.

$$x=\frac{4}{19}$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=\frac{4}{19},y=-1$$