Selesaikan {l}{18x-14y=-5}{18x+2y=-20}

$$\left. \begin{array} { l } { 18 x - 14 y = - 5 } \\ { 18 x + 2 y = - 20 } \end{array} \right.$$

Selesaikan untuk x, y

$$x = -\frac{145}{144} = -1\frac{1}{144} \approx -1.006944444$$

$$y=-\frac{15}{16}=-0.9375$$

Langkah Menggunakan Penggantian

Untuk menyelesaikan sepasang persamaan menggunakan penggantian, mula-mula selesaikan satu daripada persamaan untuk salah satu daripada pemboleh ubah. Kemudian gantikan hasil untuk pemboleh ubah itu dalam persamaan lain.

$$18x-14y=-5,18x+2y=-20$$

Pilih salah satu daripada persamaan dan selesaikannya untuk x dengan mengasingkan x di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$18x-14y=-5$$

Tambahkan 14y pada kedua-dua belah persamaan.

$$18x=14y-5$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 18.

$$x=\frac{1}{18}\left(14y-5\right)$$

Darabkan \frac{1}{18} kali 14y-5.

$$x=\frac{7}{9}y-\frac{5}{18}$$

Gantikan \frac{7y}{9}-\frac{5}{18} dengan x dalam persamaan lain, 18x+2y=-20.

$$18\left(\frac{7}{9}y-\frac{5}{18}\right)+2y=-20$$

Darabkan 18 kali \frac{7y}{9}-\frac{5}{18}.

$$14y-5+2y=-20$$

Tambahkan 14y pada 2y.

$$16y-5=-20$$

Tambahkan 5 pada kedua-dua belah persamaan.

$$16y=-15$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 16.

$$y=-\frac{15}{16}$$

Gantikan -\frac{15}{16} dengan y dalam x=\frac{7}{9}y-\frac{5}{18}. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$x=\frac{7}{9}\left(-\frac{15}{16}\right)-\frac{5}{18}$$

Darabkan \frac{7}{9} dengan -\frac{15}{16} dengan mendarabkan pengangka dengan pengangka dan penyebut dengan penyebut. Kemudian kurangkan pecahan tersebut ke sebutan terendah yang mungkin.

$$x=-\frac{35}{48}-\frac{5}{18}$$

Tambahkan -\frac{5}{18} pada -\frac{35}{48} dengan mencari satu penyebut sepunya dan menambah pengangka. Kemudian kurangkan pecahan kepada sebutan terendah yang mungkin.

$$x=-\frac{145}{144}$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=-\frac{145}{144},y=-\frac{15}{16}$$

Langkah Menggunakan Matriks

Letakkan persamaan dalam bentuk piawai dan kemudian gunakan matriks untuk menyelesaikan sistem persamaan.

$$18x-14y=-5,18x+2y=-20$$

Tuliskan persamaan dalam bentuk matriks.

$$\left(\begin{matrix}18&-14\\18&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-5\\-20\end{matrix}\right)$$

Darabkan ke kiri persamaan dengan matriks songsang bagi \left(\begin{matrix}18&-14\\18&2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}18&-14\\18&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}18&-14\\18&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}18&-14\\18&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-5\\-20\end{matrix}\right)$$

Matriks hasil darab dan sonsangnya adalah matriks identiti.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}18&-14\\18&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-5\\-20\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}18&-14\\18&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-5\\-20\end{matrix}\right)$$

Untuk matriks 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matriks songsang ialah \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), jadi persamaan matriks tersebut boleh ditulis semula sebagai masalah pendaraban matriks.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{18\times 2-\left(-14\times 18\right)}&-\frac{-14}{18\times 2-\left(-14\times 18\right)}\\-\frac{18}{18\times 2-\left(-14\times 18\right)}&\frac{18}{18\times 2-\left(-14\times 18\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-5\\-20\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{144}&\frac{7}{144}\\-\frac{1}{16}&\frac{1}{16}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-5\\-20\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks tersebut.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{144}\left(-5\right)+\frac{7}{144}\left(-20\right)\\-\frac{1}{16}\left(-5\right)+\frac{1}{16}\left(-20\right)\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{145}{144}\\-\frac{15}{16}\end{matrix}\right)$$

Ekstrak unsur matriks x dan y.

$$x=-\frac{145}{144},y=-\frac{15}{16}$$

Langkah Menggunakan Penghapusan

Untuk menyelesaikan dengan penghapusan, pekali bagi salah satu daripada pemboleh ubah mestilah sama dalam kedua-dua persamaan supaya pemboleh ubah tersebut akan saling membatalkan apabila satu persamaan ditolak daripada yang satu lagi.

$$18x-14y=-5,18x+2y=-20$$

Tolak 18x+2y=-20 daripada 18x-14y=-5 dengan menolak sebutan serupa pada setiap belah tanda sama dengan.

$$18x-18x-14y-2y=-5+20$$

Tambahkan 18x pada -18x. Seubtan 18x dan -18x saling membatalkan dan meninggalkan persamaan dengan hanya satu pemboleh ubah yang boleh diselesaikan.

$$-14y-2y=-5+20$$

Tambahkan -14y pada -2y.

$$-16y=-5+20$$

Tambahkan -5 pada 20.

$$-16y=15$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan -16.

$$y=-\frac{15}{16}$$

Gantikan -\frac{15}{16} dengan y dalam 18x+2y=-20. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$18x+2\left(-\frac{15}{16}\right)=-20$$

Darabkan 2 kali -\frac{15}{16}.

$$18x-\frac{15}{8}=-20$$

Tambahkan \frac{15}{8} pada kedua-dua belah persamaan.

$$18x=-\frac{145}{8}$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 18.

$$x=-\frac{145}{144}$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=-\frac{145}{144},y=-\frac{15}{16}$$