Selesaikan {l}{18=1200x+1600y}{17=600x+2400y}

$$\left. \begin{array} { l } { 18 = 1200 x + 1600 y } \\ { 17 = 600 x + 2400 y } \end{array} \right.$$

Selesaikan untuk x, y

$$x=\frac{1}{120}\approx 0.008333333$$

$$y=\frac{1}{200}=0.005$$

Langkah Menggunakan Penggantian

Pertimbangkan persamaan pertama. Tukar bahagian supaya semua sebutan pemboleh ubah berada di sebelah kiri.

$$1200x+1600y=18$$

Pertimbangkan persamaan kedua. Tukar bahagian supaya semua sebutan pemboleh ubah berada di sebelah kiri.

$$600x+2400y=17$$

Untuk menyelesaikan sepasang persamaan menggunakan penggantian, mula-mula selesaikan satu daripada persamaan untuk salah satu daripada pemboleh ubah. Kemudian gantikan hasil untuk pemboleh ubah itu dalam persamaan lain.

$$1200x+1600y=18,600x+2400y=17$$

Pilih salah satu daripada persamaan dan selesaikannya untuk x dengan mengasingkan x di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$1200x+1600y=18$$

Tolak 1600y daripada kedua-dua belah persamaan.

$$1200x=-1600y+18$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 1200.

$$x=\frac{1}{1200}\left(-1600y+18\right)$$

Darabkan \frac{1}{1200} kali -1600y+18.

$$x=-\frac{4}{3}y+\frac{3}{200}$$

Gantikan -\frac{4y}{3}+\frac{3}{200} dengan x dalam persamaan lain, 600x+2400y=17.

$$600\left(-\frac{4}{3}y+\frac{3}{200}\right)+2400y=17$$

Darabkan 600 kali -\frac{4y}{3}+\frac{3}{200}.

$$-800y+9+2400y=17$$

Tambahkan -800y pada 2400y.

$$1600y+9=17$$

Tolak 9 daripada kedua-dua belah persamaan.

$$1600y=8$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 1600.

$$y=\frac{1}{200}$$

Gantikan \frac{1}{200} dengan y dalam x=-\frac{4}{3}y+\frac{3}{200}. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$x=-\frac{4}{3}\times \frac{1}{200}+\frac{3}{200}$$

Darabkan -\frac{4}{3} dengan \frac{1}{200} dengan mendarabkan pengangka dengan pengangka dan penyebut dengan penyebut. Kemudian kurangkan pecahan tersebut ke sebutan terendah yang mungkin.

$$x=-\frac{1}{150}+\frac{3}{200}$$

Tambahkan \frac{3}{200} pada -\frac{1}{150} dengan mencari satu penyebut sepunya dan menambah pengangka. Kemudian kurangkan pecahan kepada sebutan terendah yang mungkin.

$$x=\frac{1}{120}$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=\frac{1}{120},y=\frac{1}{200}$$

Langkah Menggunakan Matriks

Pertimbangkan persamaan pertama. Tukar bahagian supaya semua sebutan pemboleh ubah berada di sebelah kiri.

$$1200x+1600y=18$$

Pertimbangkan persamaan kedua. Tukar bahagian supaya semua sebutan pemboleh ubah berada di sebelah kiri.

$$600x+2400y=17$$

Letakkan persamaan dalam bentuk piawai dan kemudian gunakan matriks untuk menyelesaikan sistem persamaan.

$$1200x+1600y=18,600x+2400y=17$$

Tuliskan persamaan dalam bentuk matriks.

$$\left(\begin{matrix}1200&1600\\600&2400\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}18\\17\end{matrix}\right)$$

Darabkan ke kiri persamaan dengan matriks songsang bagi \left(\begin{matrix}1200&1600\\600&2400\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1200&1600\\600&2400\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1200&1600\\600&2400\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1200&1600\\600&2400\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}18\\17\end{matrix}\right)$$

Matriks hasil darab dan sonsangnya adalah matriks identiti.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1200&1600\\600&2400\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}18\\17\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1200&1600\\600&2400\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}18\\17\end{matrix}\right)$$

Untuk matriks 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matriks songsang ialah \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), jadi persamaan matriks tersebut boleh ditulis semula sebagai masalah pendaraban matriks.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2400}{1200\times 2400-1600\times 600}&-\frac{1600}{1200\times 2400-1600\times 600}\\-\frac{600}{1200\times 2400-1600\times 600}&\frac{1200}{1200\times 2400-1600\times 600}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}18\\17\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{800}&-\frac{1}{1200}\\-\frac{1}{3200}&\frac{1}{1600}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}18\\17\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks tersebut.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{800}\times 18-\frac{1}{1200}\times 17\\-\frac{1}{3200}\times 18+\frac{1}{1600}\times 17\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{120}\\\frac{1}{200}\end{matrix}\right)$$

Ekstrak unsur matriks x dan y.

$$x=\frac{1}{120},y=\frac{1}{200}$$

Langkah Menggunakan Penghapusan

Pertimbangkan persamaan pertama. Tukar bahagian supaya semua sebutan pemboleh ubah berada di sebelah kiri.

$$1200x+1600y=18$$

Pertimbangkan persamaan kedua. Tukar bahagian supaya semua sebutan pemboleh ubah berada di sebelah kiri.

$$600x+2400y=17$$

Untuk menyelesaikan dengan penghapusan, pekali bagi salah satu daripada pemboleh ubah mestilah sama dalam kedua-dua persamaan supaya pemboleh ubah tersebut akan saling membatalkan apabila satu persamaan ditolak daripada yang satu lagi.

$$1200x+1600y=18,600x+2400y=17$$

Untuk menjadikan 1200x dan 600x sama, darabkan semua sebutan pada setiap belah persamaan pertama dengan 600 dan semua sebutan pada setiap belah yang kedua dengan 1200.

$$600\times 1200x+600\times 1600y=600\times 18,1200\times 600x+1200\times 2400y=1200\times 17$$

Permudahkan.

$$720000x+960000y=10800,720000x+2880000y=20400$$

Tolak 720000x+2880000y=20400 daripada 720000x+960000y=10800 dengan menolak sebutan serupa pada setiap belah tanda sama dengan.

$$720000x-720000x+960000y-2880000y=10800-20400$$

Tambahkan 720000x pada -720000x. Seubtan 720000x dan -720000x saling membatalkan dan meninggalkan persamaan dengan hanya satu pemboleh ubah yang boleh diselesaikan.

$$960000y-2880000y=10800-20400$$

Tambahkan 960000y pada -2880000y.

$$-1920000y=10800-20400$$

Tambahkan 10800 pada -20400.

$$-1920000y=-9600$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan -1920000.

$$y=\frac{1}{200}$$

Gantikan \frac{1}{200} dengan y dalam 600x+2400y=17. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$600x+2400\times \frac{1}{200}=17$$

Darabkan 2400 kali \frac{1}{200}.

$$600x+12=17$$

Tolak 12 daripada kedua-dua belah persamaan.

$$600x=5$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 600.

$$x=\frac{1}{120}$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=\frac{1}{120},y=\frac{1}{200}$$