Selesaikan {l}{16x-7y=-7}{20x-19y=-6}

$$\left. \begin{array} { l } { 16 x - 7 y = - 7 } \\ { 20 x - 19 y = - 6 } \end{array} \right.$$

Selesaikan untuk x, y

$$x=-\frac{91}{164}\approx -0.554878049$$

$$y=-\frac{11}{41}\approx -0.268292683$$

Langkah Menggunakan Penggantian

Untuk menyelesaikan sepasang persamaan menggunakan penggantian, mula-mula selesaikan satu daripada persamaan untuk salah satu daripada pemboleh ubah. Kemudian gantikan hasil untuk pemboleh ubah itu dalam persamaan lain.

$$16x-7y=-7,20x-19y=-6$$

Pilih salah satu daripada persamaan dan selesaikannya untuk x dengan mengasingkan x di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$16x-7y=-7$$

Tambahkan 7y pada kedua-dua belah persamaan.

$$16x=7y-7$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 16.

$$x=\frac{1}{16}\left(7y-7\right)$$

Darabkan \frac{1}{16} kali -7+7y.

$$x=\frac{7}{16}y-\frac{7}{16}$$

Gantikan \frac{-7+7y}{16} dengan x dalam persamaan lain, 20x-19y=-6.

$$20\left(\frac{7}{16}y-\frac{7}{16}\right)-19y=-6$$

Darabkan 20 kali \frac{-7+7y}{16}.

$$\frac{35}{4}y-\frac{35}{4}-19y=-6$$

Tambahkan \frac{35y}{4} pada -19y.

$$-\frac{41}{4}y-\frac{35}{4}=-6$$

Tambahkan \frac{35}{4} pada kedua-dua belah persamaan.

$$-\frac{41}{4}y=\frac{11}{4}$$

Bahagikan kedua-dua belah persamaan dengan -\frac{41}{4} yang bersamaan dengan mendarab kedua-dua belah dengan salingan pecahan.

$$y=-\frac{11}{41}$$

Gantikan -\frac{11}{41} dengan y dalam x=\frac{7}{16}y-\frac{7}{16}. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$x=\frac{7}{16}\left(-\frac{11}{41}\right)-\frac{7}{16}$$

Darabkan \frac{7}{16} dengan -\frac{11}{41} dengan mendarabkan pengangka dengan pengangka dan penyebut dengan penyebut. Kemudian kurangkan pecahan tersebut ke sebutan terendah yang mungkin.

$$x=-\frac{77}{656}-\frac{7}{16}$$

Tambahkan -\frac{7}{16} pada -\frac{77}{656} dengan mencari satu penyebut sepunya dan menambah pengangka. Kemudian kurangkan pecahan kepada sebutan terendah yang mungkin.

$$x=-\frac{91}{164}$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=-\frac{91}{164},y=-\frac{11}{41}$$

Langkah Menggunakan Matriks

Letakkan persamaan dalam bentuk piawai dan kemudian gunakan matriks untuk menyelesaikan sistem persamaan.

$$16x-7y=-7,20x-19y=-6$$

Tuliskan persamaan dalam bentuk matriks.

$$\left(\begin{matrix}16&-7\\20&-19\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-7\\-6\end{matrix}\right)$$

Darabkan ke kiri persamaan dengan matriks songsang bagi \left(\begin{matrix}16&-7\\20&-19\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}16&-7\\20&-19\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}16&-7\\20&-19\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}16&-7\\20&-19\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-7\\-6\end{matrix}\right)$$

Matriks hasil darab dan sonsangnya adalah matriks identiti.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}16&-7\\20&-19\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-7\\-6\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}16&-7\\20&-19\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-7\\-6\end{matrix}\right)$$

Untuk matriks 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matriks songsang ialah \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), jadi persamaan matriks tersebut boleh ditulis semula sebagai masalah pendaraban matriks.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{19}{16\left(-19\right)-\left(-7\times 20\right)}&-\frac{-7}{16\left(-19\right)-\left(-7\times 20\right)}\\-\frac{20}{16\left(-19\right)-\left(-7\times 20\right)}&\frac{16}{16\left(-19\right)-\left(-7\times 20\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-7\\-6\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{19}{164}&-\frac{7}{164}\\\frac{5}{41}&-\frac{4}{41}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-7\\-6\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks tersebut.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{19}{164}\left(-7\right)-\frac{7}{164}\left(-6\right)\\\frac{5}{41}\left(-7\right)-\frac{4}{41}\left(-6\right)\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{91}{164}\\-\frac{11}{41}\end{matrix}\right)$$

Ekstrak unsur matriks x dan y.

$$x=-\frac{91}{164},y=-\frac{11}{41}$$

Langkah Menggunakan Penghapusan

Untuk menyelesaikan dengan penghapusan, pekali bagi salah satu daripada pemboleh ubah mestilah sama dalam kedua-dua persamaan supaya pemboleh ubah tersebut akan saling membatalkan apabila satu persamaan ditolak daripada yang satu lagi.

$$16x-7y=-7,20x-19y=-6$$

Untuk menjadikan 16x dan 20x sama, darabkan semua sebutan pada setiap belah persamaan pertama dengan 20 dan semua sebutan pada setiap belah yang kedua dengan 16.

$$20\times 16x+20\left(-7\right)y=20\left(-7\right),16\times 20x+16\left(-19\right)y=16\left(-6\right)$$

Permudahkan.

$$320x-140y=-140,320x-304y=-96$$

Tolak 320x-304y=-96 daripada 320x-140y=-140 dengan menolak sebutan serupa pada setiap belah tanda sama dengan.

$$320x-320x-140y+304y=-140+96$$

Tambahkan 320x pada -320x. Seubtan 320x dan -320x saling membatalkan dan meninggalkan persamaan dengan hanya satu pemboleh ubah yang boleh diselesaikan.

$$-140y+304y=-140+96$$

Tambahkan -140y pada 304y.

$$164y=-140+96$$

Tambahkan -140 pada 96.

$$164y=-44$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 164.

$$y=-\frac{11}{41}$$

Gantikan -\frac{11}{41} dengan y dalam 20x-19y=-6. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$20x-19\left(-\frac{11}{41}\right)=-6$$

Darabkan -19 kali -\frac{11}{41}.

$$20x+\frac{209}{41}=-6$$

Tolak \frac{209}{41} daripada kedua-dua belah persamaan.

$$20x=-\frac{455}{41}$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 20.

$$x=-\frac{91}{164}$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=-\frac{91}{164},y=-\frac{11}{41}$$