Selesaikan {l}{16x-10y=10}{-8x-6y=6}

$$\left. \begin{array} { l } { 16 x - 10 y = 10 } \\ { - 8 x - 6 y = 6 } \end{array} \right.$$

Selesaikan untuk x, y

$$x=0$$

$$y=-1$$

Langkah Menggunakan Penggantian

Untuk menyelesaikan sepasang persamaan menggunakan penggantian, mula-mula selesaikan satu daripada persamaan untuk salah satu daripada pemboleh ubah. Kemudian gantikan hasil untuk pemboleh ubah itu dalam persamaan lain.

$$16x-10y=10,-8x-6y=6$$

Pilih salah satu daripada persamaan dan selesaikannya untuk x dengan mengasingkan x di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$16x-10y=10$$

Tambahkan 10y pada kedua-dua belah persamaan.

$$16x=10y+10$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 16.

$$x=\frac{1}{16}\left(10y+10\right)$$

Darabkan \frac{1}{16} kali 10+10y.

$$x=\frac{5}{8}y+\frac{5}{8}$$

Gantikan \frac{5+5y}{8} dengan x dalam persamaan lain, -8x-6y=6.

$$-8\left(\frac{5}{8}y+\frac{5}{8}\right)-6y=6$$

Darabkan -8 kali \frac{5+5y}{8}.

$$-5y-5-6y=6$$

Tambahkan -5y pada -6y.

$$-11y-5=6$$

Tambahkan 5 pada kedua-dua belah persamaan.

$$-11y=11$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan -11.

$$y=-1$$

Gantikan -1 dengan y dalam x=\frac{5}{8}y+\frac{5}{8}. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$x=\frac{5}{8}\left(-1\right)+\frac{5}{8}$$

Darabkan \frac{5}{8} kali -1.

$$x=\frac{-5+5}{8}$$

Tambahkan \frac{5}{8} pada -\frac{5}{8} dengan mencari satu penyebut sepunya dan menambah pengangka. Kemudian kurangkan pecahan kepada sebutan terendah yang mungkin.

$$x=0$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=0,y=-1$$

Langkah Menggunakan Matriks

Letakkan persamaan dalam bentuk piawai dan kemudian gunakan matriks untuk menyelesaikan sistem persamaan.

$$16x-10y=10,-8x-6y=6$$

Tuliskan persamaan dalam bentuk matriks.

$$\left(\begin{matrix}16&-10\\-8&-6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}10\\6\end{matrix}\right)$$

Darabkan ke kiri persamaan dengan matriks songsang bagi \left(\begin{matrix}16&-10\\-8&-6\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}16&-10\\-8&-6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}16&-10\\-8&-6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}16&-10\\-8&-6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\6\end{matrix}\right)$$

Matriks hasil darab dan sonsangnya adalah matriks identiti.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}16&-10\\-8&-6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\6\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}16&-10\\-8&-6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\6\end{matrix}\right)$$

Untuk matriks 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matriks songsang ialah \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), jadi persamaan matriks tersebut boleh ditulis semula sebagai masalah pendaraban matriks.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{6}{16\left(-6\right)-\left(-10\left(-8\right)\right)}&-\frac{-10}{16\left(-6\right)-\left(-10\left(-8\right)\right)}\\-\frac{-8}{16\left(-6\right)-\left(-10\left(-8\right)\right)}&\frac{16}{16\left(-6\right)-\left(-10\left(-8\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}10\\6\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{88}&-\frac{5}{88}\\-\frac{1}{22}&-\frac{1}{11}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}10\\6\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks tersebut.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{88}\times 10-\frac{5}{88}\times 6\\-\frac{1}{22}\times 10-\frac{1}{11}\times 6\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\-1\end{matrix}\right)$$

Ekstrak unsur matriks x dan y.

$$x=0,y=-1$$

Langkah Menggunakan Penghapusan

Untuk menyelesaikan dengan penghapusan, pekali bagi salah satu daripada pemboleh ubah mestilah sama dalam kedua-dua persamaan supaya pemboleh ubah tersebut akan saling membatalkan apabila satu persamaan ditolak daripada yang satu lagi.

$$16x-10y=10,-8x-6y=6$$

Untuk menjadikan 16x dan -8x sama, darabkan semua sebutan pada setiap belah persamaan pertama dengan -8 dan semua sebutan pada setiap belah yang kedua dengan 16.

$$-8\times 16x-8\left(-10\right)y=-8\times 10,16\left(-8\right)x+16\left(-6\right)y=16\times 6$$

Permudahkan.

$$-128x+80y=-80,-128x-96y=96$$

Tolak -128x-96y=96 daripada -128x+80y=-80 dengan menolak sebutan serupa pada setiap belah tanda sama dengan.

$$-128x+128x+80y+96y=-80-96$$

Tambahkan -128x pada 128x. Seubtan -128x dan 128x saling membatalkan dan meninggalkan persamaan dengan hanya satu pemboleh ubah yang boleh diselesaikan.

$$80y+96y=-80-96$$

Tambahkan 80y pada 96y.

$$176y=-80-96$$

Tambahkan -80 pada -96.

$$176y=-176$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 176.

$$y=-1$$

Gantikan -1 dengan y dalam -8x-6y=6. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$-8x-6\left(-1\right)=6$$

Darabkan -6 kali -1.

$$-8x+6=6$$

Tolak 6 daripada kedua-dua belah persamaan.

$$-8x=0$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan -8.

$$x=0$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=0,y=-1$$