Selesaikan {l}{15x+107y=1}{71x+179y=-287}

$$\left. \begin{array} { l } { 15 x + 107 y = 1 } \\ { 71 x + 179 y = - 287 } \end{array} \right.$$

Selesaikan untuk x, y

$$x = -\frac{3861}{614} = -6\frac{177}{614} \approx -6.288273616$$

$$y=\frac{547}{614}\approx 0.890879479$$

Langkah Menggunakan Penggantian

Untuk menyelesaikan sepasang persamaan menggunakan penggantian, mula-mula selesaikan satu daripada persamaan untuk salah satu daripada pemboleh ubah. Kemudian gantikan hasil untuk pemboleh ubah itu dalam persamaan lain.

$$15x+107y=1,71x+179y=-287$$

Pilih salah satu daripada persamaan dan selesaikannya untuk x dengan mengasingkan x di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$15x+107y=1$$

Tolak 107y daripada kedua-dua belah persamaan.

$$15x=-107y+1$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 15.

$$x=\frac{1}{15}\left(-107y+1\right)$$

Darabkan \frac{1}{15} kali -107y+1.

$$x=-\frac{107}{15}y+\frac{1}{15}$$

Gantikan \frac{-107y+1}{15} dengan x dalam persamaan lain, 71x+179y=-287.

$$71\left(-\frac{107}{15}y+\frac{1}{15}\right)+179y=-287$$

Darabkan 71 kali \frac{-107y+1}{15}.

$$-\frac{7597}{15}y+\frac{71}{15}+179y=-287$$

Tambahkan -\frac{7597y}{15} pada 179y.

$$-\frac{4912}{15}y+\frac{71}{15}=-287$$

Tolak \frac{71}{15} daripada kedua-dua belah persamaan.

$$-\frac{4912}{15}y=-\frac{4376}{15}$$

Bahagikan kedua-dua belah persamaan dengan -\frac{4912}{15} yang bersamaan dengan mendarab kedua-dua belah dengan salingan pecahan.

$$y=\frac{547}{614}$$

Gantikan \frac{547}{614} dengan y dalam x=-\frac{107}{15}y+\frac{1}{15}. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$x=-\frac{107}{15}\times \frac{547}{614}+\frac{1}{15}$$

Darabkan -\frac{107}{15} dengan \frac{547}{614} dengan mendarabkan pengangka dengan pengangka dan penyebut dengan penyebut. Kemudian kurangkan pecahan tersebut ke sebutan terendah yang mungkin.

$$x=-\frac{58529}{9210}+\frac{1}{15}$$

Tambahkan \frac{1}{15} pada -\frac{58529}{9210} dengan mencari satu penyebut sepunya dan menambah pengangka. Kemudian kurangkan pecahan kepada sebutan terendah yang mungkin.

$$x=-\frac{3861}{614}$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=-\frac{3861}{614},y=\frac{547}{614}$$

Langkah Menggunakan Matriks

Letakkan persamaan dalam bentuk piawai dan kemudian gunakan matriks untuk menyelesaikan sistem persamaan.

$$15x+107y=1,71x+179y=-287$$

Tuliskan persamaan dalam bentuk matriks.

$$\left(\begin{matrix}15&107\\71&179\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\-287\end{matrix}\right)$$

Darabkan ke kiri persamaan dengan matriks songsang bagi \left(\begin{matrix}15&107\\71&179\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}15&107\\71&179\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}15&107\\71&179\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}15&107\\71&179\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\-287\end{matrix}\right)$$

Matriks hasil darab dan sonsangnya adalah matriks identiti.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}15&107\\71&179\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\-287\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}15&107\\71&179\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\-287\end{matrix}\right)$$

Untuk matriks 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matriks songsang ialah \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), jadi persamaan matriks tersebut boleh ditulis semula sebagai masalah pendaraban matriks.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{179}{15\times 179-107\times 71}&-\frac{107}{15\times 179-107\times 71}\\-\frac{71}{15\times 179-107\times 71}&\frac{15}{15\times 179-107\times 71}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\-287\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{179}{4912}&\frac{107}{4912}\\\frac{71}{4912}&-\frac{15}{4912}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\-287\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks tersebut.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{179}{4912}+\frac{107}{4912}\left(-287\right)\\\frac{71}{4912}-\frac{15}{4912}\left(-287\right)\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3861}{614}\\\frac{547}{614}\end{matrix}\right)$$

Ekstrak unsur matriks x dan y.

$$x=-\frac{3861}{614},y=\frac{547}{614}$$

Langkah Menggunakan Penghapusan

Untuk menyelesaikan dengan penghapusan, pekali bagi salah satu daripada pemboleh ubah mestilah sama dalam kedua-dua persamaan supaya pemboleh ubah tersebut akan saling membatalkan apabila satu persamaan ditolak daripada yang satu lagi.

$$15x+107y=1,71x+179y=-287$$

Untuk menjadikan 15x dan 71x sama, darabkan semua sebutan pada setiap belah persamaan pertama dengan 71 dan semua sebutan pada setiap belah yang kedua dengan 15.

$$71\times 15x+71\times 107y=71,15\times 71x+15\times 179y=15\left(-287\right)$$

Permudahkan.

$$1065x+7597y=71,1065x+2685y=-4305$$

Tolak 1065x+2685y=-4305 daripada 1065x+7597y=71 dengan menolak sebutan serupa pada setiap belah tanda sama dengan.

$$1065x-1065x+7597y-2685y=71+4305$$

Tambahkan 1065x pada -1065x. Seubtan 1065x dan -1065x saling membatalkan dan meninggalkan persamaan dengan hanya satu pemboleh ubah yang boleh diselesaikan.

$$7597y-2685y=71+4305$$

Tambahkan 7597y pada -2685y.

$$4912y=71+4305$$

Tambahkan 71 pada 4305.

$$4912y=4376$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 4912.

$$y=\frac{547}{614}$$

Gantikan \frac{547}{614} dengan y dalam 71x+179y=-287. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$71x+179\times \frac{547}{614}=-287$$

Darabkan 179 kali \frac{547}{614}.

$$71x+\frac{97913}{614}=-287$$

Tolak \frac{97913}{614} daripada kedua-dua belah persamaan.

$$71x=-\frac{274131}{614}$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 71.

$$x=-\frac{3861}{614}$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=-\frac{3861}{614},y=\frac{547}{614}$$