Selesaikan {l}{13x+20y=48}{20x+93y=1}

$$\left. \begin{array} { l } { 13 x + 20 y = 48 } \\ { 20 x + 93 y = 1 } \end{array} \right.$$

Selesaikan untuk x, y

$$x = \frac{4444}{809} = 5\frac{399}{809} \approx 5.493201483$$

$$y = -\frac{947}{809} = -1\frac{138}{809} \approx -1.170580964$$

Langkah Menggunakan Penggantian

Untuk menyelesaikan sepasang persamaan menggunakan penggantian, mula-mula selesaikan satu daripada persamaan untuk salah satu daripada pemboleh ubah. Kemudian gantikan hasil untuk pemboleh ubah itu dalam persamaan lain.

$$13x+20y=48,20x+93y=1$$

Pilih salah satu daripada persamaan dan selesaikannya untuk x dengan mengasingkan x di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$13x+20y=48$$

Tolak 20y daripada kedua-dua belah persamaan.

$$13x=-20y+48$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 13.

$$x=\frac{1}{13}\left(-20y+48\right)$$

Darabkan \frac{1}{13} kali -20y+48.

$$x=-\frac{20}{13}y+\frac{48}{13}$$

Gantikan \frac{-20y+48}{13} dengan x dalam persamaan lain, 20x+93y=1.

$$20\left(-\frac{20}{13}y+\frac{48}{13}\right)+93y=1$$

Darabkan 20 kali \frac{-20y+48}{13}.

$$-\frac{400}{13}y+\frac{960}{13}+93y=1$$

Tambahkan -\frac{400y}{13} pada 93y.

$$\frac{809}{13}y+\frac{960}{13}=1$$

Tolak \frac{960}{13} daripada kedua-dua belah persamaan.

$$\frac{809}{13}y=-\frac{947}{13}$$

Bahagikan kedua-dua belah persamaan dengan \frac{809}{13} yang bersamaan dengan mendarab kedua-dua belah dengan salingan pecahan.

$$y=-\frac{947}{809}$$

Gantikan -\frac{947}{809} dengan y dalam x=-\frac{20}{13}y+\frac{48}{13}. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$x=-\frac{20}{13}\left(-\frac{947}{809}\right)+\frac{48}{13}$$

Darabkan -\frac{20}{13} dengan -\frac{947}{809} dengan mendarabkan pengangka dengan pengangka dan penyebut dengan penyebut. Kemudian kurangkan pecahan tersebut ke sebutan terendah yang mungkin.

$$x=\frac{18940}{10517}+\frac{48}{13}$$

Tambahkan \frac{48}{13} pada \frac{18940}{10517} dengan mencari satu penyebut sepunya dan menambah pengangka. Kemudian kurangkan pecahan kepada sebutan terendah yang mungkin.

$$x=\frac{4444}{809}$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=\frac{4444}{809},y=-\frac{947}{809}$$

Langkah Menggunakan Matriks

Letakkan persamaan dalam bentuk piawai dan kemudian gunakan matriks untuk menyelesaikan sistem persamaan.

$$13x+20y=48,20x+93y=1$$

Tuliskan persamaan dalam bentuk matriks.

$$\left(\begin{matrix}13&20\\20&93\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}48\\1\end{matrix}\right)$$

Darabkan ke kiri persamaan dengan matriks songsang bagi \left(\begin{matrix}13&20\\20&93\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}13&20\\20&93\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}13&20\\20&93\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}13&20\\20&93\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}48\\1\end{matrix}\right)$$

Matriks hasil darab dan sonsangnya adalah matriks identiti.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}13&20\\20&93\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}48\\1\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}13&20\\20&93\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}48\\1\end{matrix}\right)$$

Untuk matriks 2\times 2, \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matriks songsang ialah \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), jadi persamaan matriks tersebut boleh ditulis semula sebagai masalah pendaraban matriks.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{93}{13\times 93-20\times 20}&-\frac{20}{13\times 93-20\times 20}\\-\frac{20}{13\times 93-20\times 20}&\frac{13}{13\times 93-20\times 20}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}48\\1\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{93}{809}&-\frac{20}{809}\\-\frac{20}{809}&\frac{13}{809}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}48\\1\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks tersebut.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{93}{809}\times 48-\frac{20}{809}\\-\frac{20}{809}\times 48+\frac{13}{809}\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4444}{809}\\-\frac{947}{809}\end{matrix}\right)$$

Ekstrak unsur matriks x dan y.

$$x=\frac{4444}{809},y=-\frac{947}{809}$$

Langkah Menggunakan Penghapusan

Untuk menyelesaikan dengan penghapusan, pekali bagi salah satu daripada pemboleh ubah mestilah sama dalam kedua-dua persamaan supaya pemboleh ubah tersebut akan saling membatalkan apabila satu persamaan ditolak daripada yang satu lagi.

$$13x+20y=48,20x+93y=1$$

Untuk menjadikan 13x dan 20x sama, darabkan semua sebutan pada setiap belah persamaan pertama dengan 20 dan semua sebutan pada setiap belah yang kedua dengan 13.

$$20\times 13x+20\times 20y=20\times 48,13\times 20x+13\times 93y=13$$

Permudahkan.

$$260x+400y=960,260x+1209y=13$$

Tolak 260x+1209y=13 daripada 260x+400y=960 dengan menolak sebutan serupa pada setiap belah tanda sama dengan.

$$260x-260x+400y-1209y=960-13$$

Tambahkan 260x pada -260x. Seubtan 260x dan -260x saling membatalkan dan meninggalkan persamaan dengan hanya satu pemboleh ubah yang boleh diselesaikan.

$$400y-1209y=960-13$$

Tambahkan 400y pada -1209y.

$$-809y=960-13$$

Tambahkan 960 pada -13.

$$-809y=947$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan -809.

$$y=-\frac{947}{809}$$

Gantikan -\frac{947}{809} dengan y dalam 20x+93y=1. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$20x+93\left(-\frac{947}{809}\right)=1$$

Darabkan 93 kali -\frac{947}{809}.

$$20x-\frac{88071}{809}=1$$

Tambahkan \frac{88071}{809} pada kedua-dua belah persamaan.

$$20x=\frac{88880}{809}$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 20.

$$x=\frac{4444}{809}$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=\frac{4444}{809},y=-\frac{947}{809}$$