Selesaikan {l}{12x-5y=40}{12x-11y=88}

$$\left. \begin{array} { l } { 12 x - 5 y = 40 } \\ { 12 x - 11 y = 88 } \end{array} \right.$$

Selesaikan untuk x, y

$$x=0$$

$$y=-8$$

Langkah Menggunakan Penggantian

Untuk menyelesaikan sepasang persamaan menggunakan penggantian, mula-mula selesaikan satu daripada persamaan untuk salah satu daripada pemboleh ubah. Kemudian gantikan hasil untuk pemboleh ubah itu dalam persamaan lain.

$$12x-5y=40,12x-11y=88$$

Pilih salah satu daripada persamaan dan selesaikannya untuk x dengan mengasingkan x di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$12x-5y=40$$

Tambahkan 5y pada kedua-dua belah persamaan.

$$12x=5y+40$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 12.

$$x=\frac{1}{12}\left(5y+40\right)$$

Darabkan \frac{1}{12} kali 40+5y.

$$x=\frac{5}{12}y+\frac{10}{3}$$

Gantikan \frac{10}{3}+\frac{5y}{12} dengan x dalam persamaan lain, 12x-11y=88.

$$12\left(\frac{5}{12}y+\frac{10}{3}\right)-11y=88$$

Darabkan 12 kali \frac{10}{3}+\frac{5y}{12}.

$$5y+40-11y=88$$

Tambahkan 5y pada -11y.

$$-6y+40=88$$

Tolak 40 daripada kedua-dua belah persamaan.

$$-6y=48$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan -6.

$$y=-8$$

Gantikan -8 dengan y dalam x=\frac{5}{12}y+\frac{10}{3}. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$x=\frac{5}{12}\left(-8\right)+\frac{10}{3}$$

Darabkan \frac{5}{12} kali -8.

$$x=\frac{-10+10}{3}$$

Tambahkan \frac{10}{3} pada -\frac{10}{3} dengan mencari satu penyebut sepunya dan menambah pengangka. Kemudian kurangkan pecahan kepada sebutan terendah yang mungkin.

$$x=0$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=0,y=-8$$

Langkah Menggunakan Matriks

Letakkan persamaan dalam bentuk piawai dan kemudian gunakan matriks untuk menyelesaikan sistem persamaan.

$$12x-5y=40,12x-11y=88$$

Tuliskan persamaan dalam bentuk matriks.

$$\left(\begin{matrix}12&-5\\12&-11\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}40\\88\end{matrix}\right)$$

Darabkan ke kiri persamaan dengan matriks songsang bagi \left(\begin{matrix}12&-5\\12&-11\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}12&-5\\12&-11\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}12&-5\\12&-11\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}12&-5\\12&-11\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}40\\88\end{matrix}\right)$$

Matriks hasil darab dan sonsangnya adalah matriks identiti.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}12&-5\\12&-11\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}40\\88\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}12&-5\\12&-11\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}40\\88\end{matrix}\right)$$

Untuk matriks 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matriks songsang ialah \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), jadi persamaan matriks tersebut boleh ditulis semula sebagai masalah pendaraban matriks.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{11}{12\left(-11\right)-\left(-5\times 12\right)}&-\frac{-5}{12\left(-11\right)-\left(-5\times 12\right)}\\-\frac{12}{12\left(-11\right)-\left(-5\times 12\right)}&\frac{12}{12\left(-11\right)-\left(-5\times 12\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}40\\88\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{11}{72}&-\frac{5}{72}\\\frac{1}{6}&-\frac{1}{6}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}40\\88\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks tersebut.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{11}{72}\times 40-\frac{5}{72}\times 88\\\frac{1}{6}\times 40-\frac{1}{6}\times 88\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\-8\end{matrix}\right)$$

Ekstrak unsur matriks x dan y.

$$x=0,y=-8$$

Langkah Menggunakan Penghapusan

Untuk menyelesaikan dengan penghapusan, pekali bagi salah satu daripada pemboleh ubah mestilah sama dalam kedua-dua persamaan supaya pemboleh ubah tersebut akan saling membatalkan apabila satu persamaan ditolak daripada yang satu lagi.

$$12x-5y=40,12x-11y=88$$

Tolak 12x-11y=88 daripada 12x-5y=40 dengan menolak sebutan serupa pada setiap belah tanda sama dengan.

$$12x-12x-5y+11y=40-88$$

Tambahkan 12x pada -12x. Seubtan 12x dan -12x saling membatalkan dan meninggalkan persamaan dengan hanya satu pemboleh ubah yang boleh diselesaikan.

$$-5y+11y=40-88$$

Tambahkan -5y pada 11y.

$$6y=40-88$$

Tambahkan 40 pada -88.

$$6y=-48$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 6.

$$y=-8$$

Gantikan -8 dengan y dalam 12x-11y=88. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$12x-11\left(-8\right)=88$$

Darabkan -11 kali -8.

$$12x+88=88$$

Tolak 88 daripada kedua-dua belah persamaan.

$$12x=0$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 12.

$$x=0$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=0,y=-8$$