Selesaikan {l}{12x+4y=6}{9x+16y=8}

$$\left. \begin{array} { l } { 12 x + 4 y = 6 } \\ { 9 x + 16 y = 8 } \end{array} \right.$$

Selesaikan untuk x, y

$$x=\frac{16}{39}\approx 0.41025641$$

$$y=\frac{7}{26}\approx 0.269230769$$

Langkah Menggunakan Penggantian

Untuk menyelesaikan sepasang persamaan menggunakan penggantian, mula-mula selesaikan satu daripada persamaan untuk salah satu daripada pemboleh ubah. Kemudian gantikan hasil untuk pemboleh ubah itu dalam persamaan lain.

$$12x+4y=6,9x+16y=8$$

Pilih salah satu daripada persamaan dan selesaikannya untuk x dengan mengasingkan x di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$12x+4y=6$$

Tolak 4y daripada kedua-dua belah persamaan.

$$12x=-4y+6$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 12.

$$x=\frac{1}{12}\left(-4y+6\right)$$

Darabkan \frac{1}{12} kali -4y+6.

$$x=-\frac{1}{3}y+\frac{1}{2}$$

Gantikan -\frac{y}{3}+\frac{1}{2} dengan x dalam persamaan lain, 9x+16y=8.

$$9\left(-\frac{1}{3}y+\frac{1}{2}\right)+16y=8$$

Darabkan 9 kali -\frac{y}{3}+\frac{1}{2}.

$$-3y+\frac{9}{2}+16y=8$$

Tambahkan -3y pada 16y.

$$13y+\frac{9}{2}=8$$

Tolak \frac{9}{2} daripada kedua-dua belah persamaan.

$$13y=\frac{7}{2}$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 13.

$$y=\frac{7}{26}$$

Gantikan \frac{7}{26} dengan y dalam x=-\frac{1}{3}y+\frac{1}{2}. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$x=-\frac{1}{3}\times \frac{7}{26}+\frac{1}{2}$$

Darabkan -\frac{1}{3} dengan \frac{7}{26} dengan mendarabkan pengangka dengan pengangka dan penyebut dengan penyebut. Kemudian kurangkan pecahan tersebut ke sebutan terendah yang mungkin.

$$x=-\frac{7}{78}+\frac{1}{2}$$

Tambahkan \frac{1}{2} pada -\frac{7}{78} dengan mencari satu penyebut sepunya dan menambah pengangka. Kemudian kurangkan pecahan kepada sebutan terendah yang mungkin.

$$x=\frac{16}{39}$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=\frac{16}{39},y=\frac{7}{26}$$

Langkah Menggunakan Matriks

Letakkan persamaan dalam bentuk piawai dan kemudian gunakan matriks untuk menyelesaikan sistem persamaan.

$$12x+4y=6,9x+16y=8$$

Tuliskan persamaan dalam bentuk matriks.

$$\left(\begin{matrix}12&4\\9&16\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6\\8\end{matrix}\right)$$

Darabkan ke kiri persamaan dengan matriks songsang bagi \left(\begin{matrix}12&4\\9&16\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}12&4\\9&16\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}12&4\\9&16\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}12&4\\9&16\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\8\end{matrix}\right)$$

Matriks hasil darab dan sonsangnya adalah matriks identiti.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}12&4\\9&16\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\8\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}12&4\\9&16\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\8\end{matrix}\right)$$

Untuk matriks 2\times 2, \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matriks songsang ialah \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), jadi persamaan matriks tersebut boleh ditulis semula sebagai masalah pendaraban matriks.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{16}{12\times 16-4\times 9}&-\frac{4}{12\times 16-4\times 9}\\-\frac{9}{12\times 16-4\times 9}&\frac{12}{12\times 16-4\times 9}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\8\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{39}&-\frac{1}{39}\\-\frac{3}{52}&\frac{1}{13}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\8\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks tersebut.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{39}\times 6-\frac{1}{39}\times 8\\-\frac{3}{52}\times 6+\frac{1}{13}\times 8\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{16}{39}\\\frac{7}{26}\end{matrix}\right)$$

Ekstrak unsur matriks x dan y.

$$x=\frac{16}{39},y=\frac{7}{26}$$

Langkah Menggunakan Penghapusan

Untuk menyelesaikan dengan penghapusan, pekali bagi salah satu daripada pemboleh ubah mestilah sama dalam kedua-dua persamaan supaya pemboleh ubah tersebut akan saling membatalkan apabila satu persamaan ditolak daripada yang satu lagi.

$$12x+4y=6,9x+16y=8$$

Untuk menjadikan 12x dan 9x sama, darabkan semua sebutan pada setiap belah persamaan pertama dengan 9 dan semua sebutan pada setiap belah yang kedua dengan 12.

$$9\times 12x+9\times 4y=9\times 6,12\times 9x+12\times 16y=12\times 8$$

Permudahkan.

$$108x+36y=54,108x+192y=96$$

Tolak 108x+192y=96 daripada 108x+36y=54 dengan menolak sebutan serupa pada setiap belah tanda sama dengan.

$$108x-108x+36y-192y=54-96$$

Tambahkan 108x pada -108x. Seubtan 108x dan -108x saling membatalkan dan meninggalkan persamaan dengan hanya satu pemboleh ubah yang boleh diselesaikan.

$$36y-192y=54-96$$

Tambahkan 36y pada -192y.

$$-156y=54-96$$

Tambahkan 54 pada -96.

$$-156y=-42$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan -156.

$$y=\frac{7}{26}$$

Gantikan \frac{7}{26} dengan y dalam 9x+16y=8. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$9x+16\times \frac{7}{26}=8$$

Darabkan 16 kali \frac{7}{26}.

$$9x+\frac{56}{13}=8$$

Tolak \frac{56}{13} daripada kedua-dua belah persamaan.

$$9x=\frac{48}{13}$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 9.

$$x=\frac{16}{39}$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=\frac{16}{39},y=\frac{7}{26}$$