Selesaikan {l}{110b+218c=-93}{109b+227c=-99}

$$\left. \begin{array} { l } { 110 b + 218 c = - 93 } \\ { 109 b + 227 c = - 99 } \end{array} \right.$$

Selesaikan untuk b, c

$$b=\frac{471}{1208}\approx 0.389900662$$

$$c=-\frac{753}{1208}\approx -0.623344371$$

Langkah Menggunakan Penggantian

Untuk menyelesaikan sepasang persamaan menggunakan penggantian, mula-mula selesaikan satu daripada persamaan untuk salah satu daripada pemboleh ubah. Kemudian gantikan hasil untuk pemboleh ubah itu dalam persamaan lain.

$$110b+218c=-93,109b+227c=-99$$

Pilih salah satu daripada persamaan dan selesaikannya untuk b dengan mengasingkan b di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$110b+218c=-93$$

Tolak 218c daripada kedua-dua belah persamaan.

$$110b=-218c-93$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 110.

$$b=\frac{1}{110}\left(-218c-93\right)$$

Darabkan \frac{1}{110} kali -218c-93.

$$b=-\frac{109}{55}c-\frac{93}{110}$$

Gantikan -\frac{109c}{55}-\frac{93}{110} dengan b dalam persamaan lain, 109b+227c=-99.

$$109\left(-\frac{109}{55}c-\frac{93}{110}\right)+227c=-99$$

Darabkan 109 kali -\frac{109c}{55}-\frac{93}{110}.

$$-\frac{11881}{55}c-\frac{10137}{110}+227c=-99$$

Tambahkan -\frac{11881c}{55} pada 227c.

$$\frac{604}{55}c-\frac{10137}{110}=-99$$

Tambahkan \frac{10137}{110} pada kedua-dua belah persamaan.

$$\frac{604}{55}c=-\frac{753}{110}$$

Bahagikan kedua-dua belah persamaan dengan \frac{604}{55} yang bersamaan dengan mendarab kedua-dua belah dengan salingan pecahan.

$$c=-\frac{753}{1208}$$

Gantikan -\frac{753}{1208} dengan c dalam b=-\frac{109}{55}c-\frac{93}{110}. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk b.

$$b=-\frac{109}{55}\left(-\frac{753}{1208}\right)-\frac{93}{110}$$

Darabkan -\frac{109}{55} dengan -\frac{753}{1208} dengan mendarabkan pengangka dengan pengangka dan penyebut dengan penyebut. Kemudian kurangkan pecahan tersebut ke sebutan terendah yang mungkin.

$$b=\frac{82077}{66440}-\frac{93}{110}$$

Tambahkan -\frac{93}{110} pada \frac{82077}{66440} dengan mencari satu penyebut sepunya dan menambah pengangka. Kemudian kurangkan pecahan kepada sebutan terendah yang mungkin.

$$b=\frac{471}{1208}$$

Sistem kini diselesaikan.

$$b=\frac{471}{1208},c=-\frac{753}{1208}$$

Langkah Menggunakan Matriks

Letakkan persamaan dalam bentuk piawai dan kemudian gunakan matriks untuk menyelesaikan sistem persamaan.

$$110b+218c=-93,109b+227c=-99$$

Tuliskan persamaan dalam bentuk matriks.

$$\left(\begin{matrix}110&218\\109&227\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}b\\c\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-93\\-99\end{matrix}\right)$$

Darabkan ke kiri persamaan dengan matriks songsang bagi \left(\begin{matrix}110&218\\109&227\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}110&218\\109&227\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}110&218\\109&227\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}b\\c\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}110&218\\109&227\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-93\\-99\end{matrix}\right)$$

Matriks hasil darab dan sonsangnya adalah matriks identiti.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}b\\c\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}110&218\\109&227\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-93\\-99\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$\left(\begin{matrix}b\\c\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}110&218\\109&227\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-93\\-99\end{matrix}\right)$$

Untuk matriks 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matriks songsang ialah \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), jadi persamaan matriks tersebut boleh ditulis semula sebagai masalah pendaraban matriks.

$$\left(\begin{matrix}b\\c\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{227}{110\times 227-218\times 109}&-\frac{218}{110\times 227-218\times 109}\\-\frac{109}{110\times 227-218\times 109}&\frac{110}{110\times 227-218\times 109}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-93\\-99\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}b\\c\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{227}{1208}&-\frac{109}{604}\\-\frac{109}{1208}&\frac{55}{604}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-93\\-99\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks tersebut.

$$\left(\begin{matrix}b\\c\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{227}{1208}\left(-93\right)-\frac{109}{604}\left(-99\right)\\-\frac{109}{1208}\left(-93\right)+\frac{55}{604}\left(-99\right)\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}b\\c\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{471}{1208}\\-\frac{753}{1208}\end{matrix}\right)$$

Ekstrak unsur matriks b dan c.

$$b=\frac{471}{1208},c=-\frac{753}{1208}$$

Langkah Menggunakan Penghapusan

Untuk menyelesaikan dengan penghapusan, pekali bagi salah satu daripada pemboleh ubah mestilah sama dalam kedua-dua persamaan supaya pemboleh ubah tersebut akan saling membatalkan apabila satu persamaan ditolak daripada yang satu lagi.

$$110b+218c=-93,109b+227c=-99$$

Untuk menjadikan 110b dan 109b sama, darabkan semua sebutan pada setiap belah persamaan pertama dengan 109 dan semua sebutan pada setiap belah yang kedua dengan 110.

$$109\times 110b+109\times 218c=109\left(-93\right),110\times 109b+110\times 227c=110\left(-99\right)$$

Permudahkan.

$$11990b+23762c=-10137,11990b+24970c=-10890$$

Tolak 11990b+24970c=-10890 daripada 11990b+23762c=-10137 dengan menolak sebutan serupa pada setiap belah tanda sama dengan.

$$11990b-11990b+23762c-24970c=-10137+10890$$

Tambahkan 11990b pada -11990b. Seubtan 11990b dan -11990b saling membatalkan dan meninggalkan persamaan dengan hanya satu pemboleh ubah yang boleh diselesaikan.

$$23762c-24970c=-10137+10890$$

Tambahkan 23762c pada -24970c.

$$-1208c=-10137+10890$$

Tambahkan -10137 pada 10890.

$$-1208c=753$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan -1208.

$$c=-\frac{753}{1208}$$

Gantikan -\frac{753}{1208} dengan c dalam 109b+227c=-99. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk b.

$$109b+227\left(-\frac{753}{1208}\right)=-99$$

Darabkan 227 kali -\frac{753}{1208}.

$$109b-\frac{170931}{1208}=-99$$

Tambahkan \frac{170931}{1208} pada kedua-dua belah persamaan.

$$109b=\frac{51339}{1208}$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 109.

$$b=\frac{471}{1208}$$

Sistem kini diselesaikan.

$$b=\frac{471}{1208},c=-\frac{753}{1208}$$