Selesaikan {l}{11x+5y=7}{6x+3y=21}

$$\left. \begin{array} { l } { 11 x + 5 y = 7 } \\ { 6 x + 3 y = 21 } \end{array} \right.$$

Selesaikan untuk x, y

$$x=-28$$

$$y=63$$

Langkah Menggunakan Penggantian

Untuk menyelesaikan sepasang persamaan menggunakan penggantian, mula-mula selesaikan satu daripada persamaan untuk salah satu daripada pemboleh ubah. Kemudian gantikan hasil untuk pemboleh ubah itu dalam persamaan lain.

$$11x+5y=7,6x+3y=21$$

Pilih salah satu daripada persamaan dan selesaikannya untuk x dengan mengasingkan x di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$11x+5y=7$$

Tolak 5y daripada kedua-dua belah persamaan.

$$11x=-5y+7$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 11.

$$x=\frac{1}{11}\left(-5y+7\right)$$

Darabkan \frac{1}{11} kali -5y+7.

$$x=-\frac{5}{11}y+\frac{7}{11}$$

Gantikan \frac{-5y+7}{11} dengan x dalam persamaan lain, 6x+3y=21.

$$6\left(-\frac{5}{11}y+\frac{7}{11}\right)+3y=21$$

Darabkan 6 kali \frac{-5y+7}{11}.

$$-\frac{30}{11}y+\frac{42}{11}+3y=21$$

Tambahkan -\frac{30y}{11} pada 3y.

$$\frac{3}{11}y+\frac{42}{11}=21$$

Tolak \frac{42}{11} daripada kedua-dua belah persamaan.

$$\frac{3}{11}y=\frac{189}{11}$$

Bahagikan kedua-dua belah persamaan dengan \frac{3}{11} yang bersamaan dengan mendarab kedua-dua belah dengan salingan pecahan.

$$y=63$$

Gantikan 63 dengan y dalam x=-\frac{5}{11}y+\frac{7}{11}. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$x=-\frac{5}{11}\times 63+\frac{7}{11}$$

Darabkan -\frac{5}{11} kali 63.

$$x=\frac{-315+7}{11}$$

Tambahkan \frac{7}{11} pada -\frac{315}{11} dengan mencari satu penyebut sepunya dan menambah pengangka. Kemudian kurangkan pecahan kepada sebutan terendah yang mungkin.

$$x=-28$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=-28,y=63$$

Langkah Menggunakan Matriks

Letakkan persamaan dalam bentuk piawai dan kemudian gunakan matriks untuk menyelesaikan sistem persamaan.

$$11x+5y=7,6x+3y=21$$

Tuliskan persamaan dalam bentuk matriks.

$$\left(\begin{matrix}11&5\\6&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}7\\21\end{matrix}\right)$$

Darabkan ke kiri persamaan dengan matriks songsang bagi \left(\begin{matrix}11&5\\6&3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}11&5\\6&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}11&5\\6&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}11&5\\6&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\21\end{matrix}\right)$$

Matriks hasil darab dan sonsangnya adalah matriks identiti.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}11&5\\6&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\21\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}11&5\\6&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\21\end{matrix}\right)$$

Untuk matriks 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matriks songsang ialah \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), jadi persamaan matriks tersebut boleh ditulis semula sebagai masalah pendaraban matriks.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{11\times 3-5\times 6}&-\frac{5}{11\times 3-5\times 6}\\-\frac{6}{11\times 3-5\times 6}&\frac{11}{11\times 3-5\times 6}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\21\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1&-\frac{5}{3}\\-2&\frac{11}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\21\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks tersebut.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}7-\frac{5}{3}\times 21\\-2\times 7+\frac{11}{3}\times 21\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-28\\63\end{matrix}\right)$$

Ekstrak unsur matriks x dan y.

$$x=-28,y=63$$

Langkah Menggunakan Penghapusan

Untuk menyelesaikan dengan penghapusan, pekali bagi salah satu daripada pemboleh ubah mestilah sama dalam kedua-dua persamaan supaya pemboleh ubah tersebut akan saling membatalkan apabila satu persamaan ditolak daripada yang satu lagi.

$$11x+5y=7,6x+3y=21$$

Untuk menjadikan 11x dan 6x sama, darabkan semua sebutan pada setiap belah persamaan pertama dengan 6 dan semua sebutan pada setiap belah yang kedua dengan 11.

$$6\times 11x+6\times 5y=6\times 7,11\times 6x+11\times 3y=11\times 21$$

Permudahkan.

$$66x+30y=42,66x+33y=231$$

Tolak 66x+33y=231 daripada 66x+30y=42 dengan menolak sebutan serupa pada setiap belah tanda sama dengan.

$$66x-66x+30y-33y=42-231$$

Tambahkan 66x pada -66x. Seubtan 66x dan -66x saling membatalkan dan meninggalkan persamaan dengan hanya satu pemboleh ubah yang boleh diselesaikan.

$$30y-33y=42-231$$

Tambahkan 30y pada -33y.

$$-3y=42-231$$

Tambahkan 42 pada -231.

$$-3y=-189$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan -3.

$$y=63$$

Gantikan 63 dengan y dalam 6x+3y=21. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$6x+3\times 63=21$$

Darabkan 3 kali 63.

$$6x+189=21$$

Tolak 189 daripada kedua-dua belah persamaan.

$$6x=-168$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 6.

$$x=-28$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=-28,y=63$$