Selesaikan {l}{11a=5b+48}{7a=13b-840}

$$\left. \begin{array} { l } { 11 a = 5 b + 48 } \\ { 7 a = 13 b - 840 } \end{array} \right.$$

Selesaikan untuk a, b

$$a = \frac{134}{3} = 44\frac{2}{3} \approx 44.666666667$$

$$b = \frac{266}{3} = 88\frac{2}{3} \approx 88.666666667$$

Langkah Menggunakan Penggantian

Pertimbangkan persamaan pertama. Tolak 5b daripada kedua-dua belah.

$$11a-5b=48$$

Pertimbangkan persamaan kedua. Tolak 13b daripada kedua-dua belah.

$$7a-13b=-840$$

Untuk menyelesaikan sepasang persamaan menggunakan penggantian, mula-mula selesaikan satu daripada persamaan untuk salah satu daripada pemboleh ubah. Kemudian gantikan hasil untuk pemboleh ubah itu dalam persamaan lain.

$$11a-5b=48,7a-13b=-840$$

Pilih salah satu daripada persamaan dan selesaikannya untuk a dengan mengasingkan a di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$11a-5b=48$$

Tambahkan 5b pada kedua-dua belah persamaan.

$$11a=5b+48$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 11.

$$a=\frac{1}{11}\left(5b+48\right)$$

Darabkan \frac{1}{11} kali 5b+48.

$$a=\frac{5}{11}b+\frac{48}{11}$$

Gantikan \frac{5b+48}{11} dengan a dalam persamaan lain, 7a-13b=-840.

$$7\left(\frac{5}{11}b+\frac{48}{11}\right)-13b=-840$$

Darabkan 7 kali \frac{5b+48}{11}.

$$\frac{35}{11}b+\frac{336}{11}-13b=-840$$

Tambahkan \frac{35b}{11} pada -13b.

$$-\frac{108}{11}b+\frac{336}{11}=-840$$

Tolak \frac{336}{11} daripada kedua-dua belah persamaan.

$$-\frac{108}{11}b=-\frac{9576}{11}$$

Bahagikan kedua-dua belah persamaan dengan -\frac{108}{11} yang bersamaan dengan mendarab kedua-dua belah dengan salingan pecahan.

$$b=\frac{266}{3}$$

Gantikan \frac{266}{3} dengan b dalam a=\frac{5}{11}b+\frac{48}{11}. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk a.

$$a=\frac{5}{11}\times \frac{266}{3}+\frac{48}{11}$$

Darabkan \frac{5}{11} dengan \frac{266}{3} dengan mendarabkan pengangka dengan pengangka dan penyebut dengan penyebut. Kemudian kurangkan pecahan tersebut ke sebutan terendah yang mungkin.

$$a=\frac{1330}{33}+\frac{48}{11}$$

Tambahkan \frac{48}{11} pada \frac{1330}{33} dengan mencari satu penyebut sepunya dan menambah pengangka. Kemudian kurangkan pecahan kepada sebutan terendah yang mungkin.

$$a=\frac{134}{3}$$

Sistem kini diselesaikan.

$$a=\frac{134}{3},b=\frac{266}{3}$$

Langkah Menggunakan Matriks

Pertimbangkan persamaan pertama. Tolak 5b daripada kedua-dua belah.

$$11a-5b=48$$

Pertimbangkan persamaan kedua. Tolak 13b daripada kedua-dua belah.

$$7a-13b=-840$$

Letakkan persamaan dalam bentuk piawai dan kemudian gunakan matriks untuk menyelesaikan sistem persamaan.

$$11a-5b=48,7a-13b=-840$$

Tuliskan persamaan dalam bentuk matriks.

$$\left(\begin{matrix}11&-5\\7&-13\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}48\\-840\end{matrix}\right)$$

Darabkan ke kiri persamaan dengan matriks songsang bagi \left(\begin{matrix}11&-5\\7&-13\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}11&-5\\7&-13\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}11&-5\\7&-13\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}11&-5\\7&-13\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}48\\-840\end{matrix}\right)$$

Matriks hasil darab dan sonsangnya adalah matriks identiti.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}11&-5\\7&-13\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}48\\-840\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}11&-5\\7&-13\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}48\\-840\end{matrix}\right)$$

Untuk matriks 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matriks songsang ialah \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), jadi persamaan matriks tersebut boleh ditulis semula sebagai masalah pendaraban matriks.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{13}{11\left(-13\right)-\left(-5\times 7\right)}&-\frac{-5}{11\left(-13\right)-\left(-5\times 7\right)}\\-\frac{7}{11\left(-13\right)-\left(-5\times 7\right)}&\frac{11}{11\left(-13\right)-\left(-5\times 7\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}48\\-840\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{13}{108}&-\frac{5}{108}\\\frac{7}{108}&-\frac{11}{108}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}48\\-840\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks tersebut.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{13}{108}\times 48-\frac{5}{108}\left(-840\right)\\\frac{7}{108}\times 48-\frac{11}{108}\left(-840\right)\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{134}{3}\\\frac{266}{3}\end{matrix}\right)$$

Ekstrak unsur matriks a dan b.

$$a=\frac{134}{3},b=\frac{266}{3}$$

Langkah Menggunakan Penghapusan

Pertimbangkan persamaan pertama. Tolak 5b daripada kedua-dua belah.

$$11a-5b=48$$

Pertimbangkan persamaan kedua. Tolak 13b daripada kedua-dua belah.

$$7a-13b=-840$$

Untuk menyelesaikan dengan penghapusan, pekali bagi salah satu daripada pemboleh ubah mestilah sama dalam kedua-dua persamaan supaya pemboleh ubah tersebut akan saling membatalkan apabila satu persamaan ditolak daripada yang satu lagi.

$$11a-5b=48,7a-13b=-840$$

Untuk menjadikan 11a dan 7a sama, darabkan semua sebutan pada setiap belah persamaan pertama dengan 7 dan semua sebutan pada setiap belah yang kedua dengan 11.

$$7\times 11a+7\left(-5\right)b=7\times 48,11\times 7a+11\left(-13\right)b=11\left(-840\right)$$

Permudahkan.

$$77a-35b=336,77a-143b=-9240$$

Tolak 77a-143b=-9240 daripada 77a-35b=336 dengan menolak sebutan serupa pada setiap belah tanda sama dengan.

$$77a-77a-35b+143b=336+9240$$

Tambahkan 77a pada -77a. Seubtan 77a dan -77a saling membatalkan dan meninggalkan persamaan dengan hanya satu pemboleh ubah yang boleh diselesaikan.

$$-35b+143b=336+9240$$

Tambahkan -35b pada 143b.

$$108b=336+9240$$

Tambahkan 336 pada 9240.

$$108b=9576$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 108.

$$b=\frac{266}{3}$$

Gantikan \frac{266}{3} dengan b dalam 7a-13b=-840. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk a.

$$7a-13\times \frac{266}{3}=-840$$

Darabkan -13 kali \frac{266}{3}.

$$7a-\frac{3458}{3}=-840$$

Tambahkan \frac{3458}{3} pada kedua-dua belah persamaan.

$$7a=\frac{938}{3}$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 7.

$$a=\frac{134}{3}$$

Sistem kini diselesaikan.

$$a=\frac{134}{3},b=\frac{266}{3}$$