Selesaikan {l}{10x+4y=-12}{-9x-5y=1}

$$\left. \begin{array} { l } { 10 x + 4 y = - 12 } \\ { - 9 x - 5 y = 1 } \end{array} \right.$$

Selesaikan untuk x, y

$$x=-4$$

$$y=7$$

Langkah Menggunakan Penggantian

Untuk menyelesaikan sepasang persamaan menggunakan penggantian, mula-mula selesaikan satu daripada persamaan untuk salah satu daripada pemboleh ubah. Kemudian gantikan hasil untuk pemboleh ubah itu dalam persamaan lain.

$$10x+4y=-12,-9x-5y=1$$

Pilih salah satu daripada persamaan dan selesaikannya untuk x dengan mengasingkan x di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$10x+4y=-12$$

Tolak 4y daripada kedua-dua belah persamaan.

$$10x=-4y-12$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 10.

$$x=\frac{1}{10}\left(-4y-12\right)$$

Darabkan \frac{1}{10} kali -4y-12.

$$x=-\frac{2}{5}y-\frac{6}{5}$$

Gantikan \frac{-2y-6}{5} dengan x dalam persamaan lain, -9x-5y=1.

$$-9\left(-\frac{2}{5}y-\frac{6}{5}\right)-5y=1$$

Darabkan -9 kali \frac{-2y-6}{5}.

$$\frac{18}{5}y+\frac{54}{5}-5y=1$$

Tambahkan \frac{18y}{5} pada -5y.

$$-\frac{7}{5}y+\frac{54}{5}=1$$

Tolak \frac{54}{5} daripada kedua-dua belah persamaan.

$$-\frac{7}{5}y=-\frac{49}{5}$$

Bahagikan kedua-dua belah persamaan dengan -\frac{7}{5} yang bersamaan dengan mendarab kedua-dua belah dengan salingan pecahan.

$$y=7$$

Gantikan 7 dengan y dalam x=-\frac{2}{5}y-\frac{6}{5}. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$x=-\frac{2}{5}\times 7-\frac{6}{5}$$

Darabkan -\frac{2}{5} kali 7.

$$x=\frac{-14-6}{5}$$

Tambahkan -\frac{6}{5} pada -\frac{14}{5} dengan mencari satu penyebut sepunya dan menambah pengangka. Kemudian kurangkan pecahan kepada sebutan terendah yang mungkin.

$$x=-4$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=-4,y=7$$

Langkah Menggunakan Matriks

Letakkan persamaan dalam bentuk piawai dan kemudian gunakan matriks untuk menyelesaikan sistem persamaan.

$$10x+4y=-12,-9x-5y=1$$

Tuliskan persamaan dalam bentuk matriks.

$$\left(\begin{matrix}10&4\\-9&-5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-12\\1\end{matrix}\right)$$

Darabkan ke kiri persamaan dengan matriks songsang bagi \left(\begin{matrix}10&4\\-9&-5\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}10&4\\-9&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10&4\\-9&-5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}10&4\\-9&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-12\\1\end{matrix}\right)$$

Matriks hasil darab dan sonsangnya adalah matriks identiti.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}10&4\\-9&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-12\\1\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}10&4\\-9&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-12\\1\end{matrix}\right)$$

Untuk matriks 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matriks songsang ialah \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), jadi persamaan matriks tersebut boleh ditulis semula sebagai masalah pendaraban matriks.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{5}{10\left(-5\right)-4\left(-9\right)}&-\frac{4}{10\left(-5\right)-4\left(-9\right)}\\-\frac{-9}{10\left(-5\right)-4\left(-9\right)}&\frac{10}{10\left(-5\right)-4\left(-9\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-12\\1\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{14}&\frac{2}{7}\\-\frac{9}{14}&-\frac{5}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-12\\1\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks tersebut.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{14}\left(-12\right)+\frac{2}{7}\\-\frac{9}{14}\left(-12\right)-\frac{5}{7}\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-4\\7\end{matrix}\right)$$

Ekstrak unsur matriks x dan y.

$$x=-4,y=7$$

Langkah Menggunakan Penghapusan

Untuk menyelesaikan dengan penghapusan, pekali bagi salah satu daripada pemboleh ubah mestilah sama dalam kedua-dua persamaan supaya pemboleh ubah tersebut akan saling membatalkan apabila satu persamaan ditolak daripada yang satu lagi.

$$10x+4y=-12,-9x-5y=1$$

Untuk menjadikan 10x dan -9x sama, darabkan semua sebutan pada setiap belah persamaan pertama dengan -9 dan semua sebutan pada setiap belah yang kedua dengan 10.

$$-9\times 10x-9\times 4y=-9\left(-12\right),10\left(-9\right)x+10\left(-5\right)y=10$$

Permudahkan.

$$-90x-36y=108,-90x-50y=10$$

Tolak -90x-50y=10 daripada -90x-36y=108 dengan menolak sebutan serupa pada setiap belah tanda sama dengan.

$$-90x+90x-36y+50y=108-10$$

Tambahkan -90x pada 90x. Seubtan -90x dan 90x saling membatalkan dan meninggalkan persamaan dengan hanya satu pemboleh ubah yang boleh diselesaikan.

$$-36y+50y=108-10$$

Tambahkan -36y pada 50y.

$$14y=108-10$$

Tambahkan 108 pada -10.

$$14y=98$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 14.

$$y=7$$

Gantikan 7 dengan y dalam -9x-5y=1. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$-9x-5\times 7=1$$

Darabkan -5 kali 7.

$$-9x-35=1$$

Tambahkan 35 pada kedua-dua belah persamaan.

$$-9x=36$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan -9.

$$x=-4$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=-4,y=7$$