Selesaikan {l}{10x+2y=50}{7x+2y=20}

$$\left. \begin{array} { l } { 10 x + 2 y = 50 } \\ { 7 x + 2 y = 20 } \end{array} \right.$$

Selesaikan untuk x, y

$$x=10$$

$$y=-25$$

Langkah Menggunakan Penggantian

Untuk menyelesaikan sepasang persamaan menggunakan penggantian, mula-mula selesaikan satu daripada persamaan untuk salah satu daripada pemboleh ubah. Kemudian gantikan hasil untuk pemboleh ubah itu dalam persamaan lain.

$$10x+2y=50,7x+2y=20$$

Pilih salah satu daripada persamaan dan selesaikannya untuk x dengan mengasingkan x di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$10x+2y=50$$

Tolak 2y daripada kedua-dua belah persamaan.

$$10x=-2y+50$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 10.

$$x=\frac{1}{10}\left(-2y+50\right)$$

Darabkan \frac{1}{10} kali -2y+50.

$$x=-\frac{1}{5}y+5$$

Gantikan -\frac{y}{5}+5 dengan x dalam persamaan lain, 7x+2y=20.

$$7\left(-\frac{1}{5}y+5\right)+2y=20$$

Darabkan 7 kali -\frac{y}{5}+5.

$$-\frac{7}{5}y+35+2y=20$$

Tambahkan -\frac{7y}{5} pada 2y.

$$\frac{3}{5}y+35=20$$

Tolak 35 daripada kedua-dua belah persamaan.

$$\frac{3}{5}y=-15$$

Bahagikan kedua-dua belah persamaan dengan \frac{3}{5} yang bersamaan dengan mendarab kedua-dua belah dengan salingan pecahan.

$$y=-25$$

Gantikan -25 dengan y dalam x=-\frac{1}{5}y+5. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$x=-\frac{1}{5}\left(-25\right)+5$$

Darabkan -\frac{1}{5} kali -25.

$$x=5+5$$

Tambahkan 5 pada 5.

$$x=10$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=10,y=-25$$

Langkah Menggunakan Matriks

Letakkan persamaan dalam bentuk piawai dan kemudian gunakan matriks untuk menyelesaikan sistem persamaan.

$$10x+2y=50,7x+2y=20$$

Tuliskan persamaan dalam bentuk matriks.

$$\left(\begin{matrix}10&2\\7&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}50\\20\end{matrix}\right)$$

Darabkan ke kiri persamaan dengan matriks songsang bagi \left(\begin{matrix}10&2\\7&2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}10&2\\7&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10&2\\7&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}10&2\\7&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}50\\20\end{matrix}\right)$$

Matriks hasil darab dan sonsangnya adalah matriks identiti.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}10&2\\7&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}50\\20\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}10&2\\7&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}50\\20\end{matrix}\right)$$

Untuk matriks 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matriks songsang ialah \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), jadi persamaan matriks tersebut boleh ditulis semula sebagai masalah pendaraban matriks.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{10\times 2-2\times 7}&-\frac{2}{10\times 2-2\times 7}\\-\frac{7}{10\times 2-2\times 7}&\frac{10}{10\times 2-2\times 7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}50\\20\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}&-\frac{1}{3}\\-\frac{7}{6}&\frac{5}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}50\\20\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks tersebut.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}\times 50-\frac{1}{3}\times 20\\-\frac{7}{6}\times 50+\frac{5}{3}\times 20\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}10\\-25\end{matrix}\right)$$

Ekstrak unsur matriks x dan y.

$$x=10,y=-25$$

Langkah Menggunakan Penghapusan

Untuk menyelesaikan dengan penghapusan, pekali bagi salah satu daripada pemboleh ubah mestilah sama dalam kedua-dua persamaan supaya pemboleh ubah tersebut akan saling membatalkan apabila satu persamaan ditolak daripada yang satu lagi.

$$10x+2y=50,7x+2y=20$$

Tolak 7x+2y=20 daripada 10x+2y=50 dengan menolak sebutan serupa pada setiap belah tanda sama dengan.

$$10x-7x+2y-2y=50-20$$

Tambahkan 2y pada -2y. Seubtan 2y dan -2y saling membatalkan dan meninggalkan persamaan dengan hanya satu pemboleh ubah yang boleh diselesaikan.

$$10x-7x=50-20$$

Tambahkan 10x pada -7x.

$$3x=50-20$$

Tambahkan 50 pada -20.

$$3x=30$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 3.

$$x=10$$

Gantikan 10 dengan x dalam 7x+2y=20. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk y.

$$7\times 10+2y=20$$

Darabkan 7 kali 10.

$$70+2y=20$$

Tolak 70 daripada kedua-dua belah persamaan.

$$2y=-50$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 2.

$$y=-25$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=10,y=-25$$