Selesaikan {l}{1x+4y=280}{4x+1y=124}

$$\left. \begin{array} { l } { 1 x + 4 y = 280 } \\ { 4 x + 1 y = 124 } \end{array} \right.$$

Selesaikan untuk x, y

$$x = \frac{72}{5} = 14\frac{2}{5} = 14.4$$

$$y = \frac{332}{5} = 66\frac{2}{5} = 66.4$$

Langkah Menggunakan Penggantian

Untuk menyelesaikan sepasang persamaan menggunakan penggantian, mula-mula selesaikan satu daripada persamaan untuk salah satu daripada pemboleh ubah. Kemudian gantikan hasil untuk pemboleh ubah itu dalam persamaan lain.

$$x+4y=280,4x+y=124$$

Pilih salah satu daripada persamaan dan selesaikannya untuk x dengan mengasingkan x di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$x+4y=280$$

Tolak 4y daripada kedua-dua belah persamaan.

$$x=-4y+280$$

Gantikan -4y+280 dengan x dalam persamaan lain, 4x+y=124.

$$4\left(-4y+280\right)+y=124$$

Darabkan 4 kali -4y+280.

$$-16y+1120+y=124$$

Tambahkan -16y pada y.

$$-15y+1120=124$$

Tolak 1120 daripada kedua-dua belah persamaan.

$$-15y=-996$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan -15.

$$y=\frac{332}{5}$$

Gantikan \frac{332}{5} dengan y dalam x=-4y+280. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$x=-4\times \frac{332}{5}+280$$

Darabkan -4 kali \frac{332}{5}.

$$x=-\frac{1328}{5}+280$$

Tambahkan 280 pada -\frac{1328}{5}.

$$x=\frac{72}{5}$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=\frac{72}{5},y=\frac{332}{5}$$

Langkah Menggunakan Matriks

Letakkan persamaan dalam bentuk piawai dan kemudian gunakan matriks untuk menyelesaikan sistem persamaan.

$$x+4y=280,4x+y=124$$

Tuliskan persamaan dalam bentuk matriks.

$$\left(\begin{matrix}1&4\\4&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}280\\124\end{matrix}\right)$$

Darabkan ke kiri persamaan dengan matriks songsang bagi \left(\begin{matrix}1&4\\4&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&4\\4&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&4\\4&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&4\\4&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}280\\124\end{matrix}\right)$$

Matriks hasil darab dan sonsangnya adalah matriks identiti.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&4\\4&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}280\\124\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&4\\4&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}280\\124\end{matrix}\right)$$

Untuk matriks 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matriks songsang ialah \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), jadi persamaan matriks tersebut boleh ditulis semula sebagai masalah pendaraban matriks.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{1-4\times 4}&-\frac{4}{1-4\times 4}\\-\frac{4}{1-4\times 4}&\frac{1}{1-4\times 4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}280\\124\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{15}&\frac{4}{15}\\\frac{4}{15}&-\frac{1}{15}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}280\\124\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks tersebut.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{15}\times 280+\frac{4}{15}\times 124\\\frac{4}{15}\times 280-\frac{1}{15}\times 124\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{72}{5}\\\frac{332}{5}\end{matrix}\right)$$

Ekstrak unsur matriks x dan y.

$$x=\frac{72}{5},y=\frac{332}{5}$$

Langkah Menggunakan Penghapusan

Untuk menyelesaikan dengan penghapusan, pekali bagi salah satu daripada pemboleh ubah mestilah sama dalam kedua-dua persamaan supaya pemboleh ubah tersebut akan saling membatalkan apabila satu persamaan ditolak daripada yang satu lagi.

$$x+4y=280,4x+y=124$$

Untuk menjadikan x dan 4x sama, darabkan semua sebutan pada setiap belah persamaan pertama dengan 4 dan semua sebutan pada setiap belah yang kedua dengan 1.

$$4x+4\times 4y=4\times 280,4x+y=124$$

Permudahkan.

$$4x+16y=1120,4x+y=124$$

Tolak 4x+y=124 daripada 4x+16y=1120 dengan menolak sebutan serupa pada setiap belah tanda sama dengan.

$$4x-4x+16y-y=1120-124$$

Tambahkan 4x pada -4x. Seubtan 4x dan -4x saling membatalkan dan meninggalkan persamaan dengan hanya satu pemboleh ubah yang boleh diselesaikan.

$$16y-y=1120-124$$

Tambahkan 16y pada -y.

$$15y=1120-124$$

Tambahkan 1120 pada -124.

$$15y=996$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 15.

$$y=\frac{332}{5}$$

Gantikan \frac{332}{5} dengan y dalam 4x+y=124. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$4x+\frac{332}{5}=124$$

Tolak \frac{332}{5} daripada kedua-dua belah persamaan.

$$4x=\frac{288}{5}$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 4.

$$x=\frac{72}{5}$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=\frac{72}{5},y=\frac{332}{5}$$