Selesaikan {l}{1=2r-3s}{4=3r+2s}

$$\left. \begin{array} { l } { 1 = 2 r - 3 s } \\ { 4 = 3 r + 2 s } \end{array} \right.$$

Selesaikan untuk r, s

$$r = \frac{14}{13} = 1\frac{1}{13} \approx 1.076923077$$

$$s=\frac{5}{13}\approx 0.384615385$$

Langkah Menggunakan Penggantian

Pertimbangkan persamaan pertama. Tukar bahagian supaya semua sebutan pemboleh ubah berada di sebelah kiri.

$$2r-3s=1$$

Pertimbangkan persamaan kedua. Tukar bahagian supaya semua sebutan pemboleh ubah berada di sebelah kiri.

$$3r+2s=4$$

Untuk menyelesaikan sepasang persamaan menggunakan penggantian, mula-mula selesaikan satu daripada persamaan untuk salah satu daripada pemboleh ubah. Kemudian gantikan hasil untuk pemboleh ubah itu dalam persamaan lain.

$$2r-3s=1,3r+2s=4$$

Pilih salah satu daripada persamaan dan selesaikannya untuk r dengan mengasingkan r di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$2r-3s=1$$

Tambahkan 3s pada kedua-dua belah persamaan.

$$2r=3s+1$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 2.

$$r=\frac{1}{2}\left(3s+1\right)$$

Darabkan \frac{1}{2} kali 3s+1.

$$r=\frac{3}{2}s+\frac{1}{2}$$

Gantikan \frac{3s+1}{2} dengan r dalam persamaan lain, 3r+2s=4.

$$3\left(\frac{3}{2}s+\frac{1}{2}\right)+2s=4$$

Darabkan 3 kali \frac{3s+1}{2}.

$$\frac{9}{2}s+\frac{3}{2}+2s=4$$

Tambahkan \frac{9s}{2} pada 2s.

$$\frac{13}{2}s+\frac{3}{2}=4$$

Tolak \frac{3}{2} daripada kedua-dua belah persamaan.

$$\frac{13}{2}s=\frac{5}{2}$$

Bahagikan kedua-dua belah persamaan dengan \frac{13}{2} yang bersamaan dengan mendarab kedua-dua belah dengan salingan pecahan.

$$s=\frac{5}{13}$$

Gantikan \frac{5}{13} dengan s dalam r=\frac{3}{2}s+\frac{1}{2}. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk r.

$$r=\frac{3}{2}\times \frac{5}{13}+\frac{1}{2}$$

Darabkan \frac{3}{2} dengan \frac{5}{13} dengan mendarabkan pengangka dengan pengangka dan penyebut dengan penyebut. Kemudian kurangkan pecahan tersebut ke sebutan terendah yang mungkin.

$$r=\frac{15}{26}+\frac{1}{2}$$

Tambahkan \frac{1}{2} pada \frac{15}{26} dengan mencari satu penyebut sepunya dan menambah pengangka. Kemudian kurangkan pecahan kepada sebutan terendah yang mungkin.

$$r=\frac{14}{13}$$

Sistem kini diselesaikan.

$$r=\frac{14}{13},s=\frac{5}{13}$$

Langkah Menggunakan Matriks

Pertimbangkan persamaan pertama. Tukar bahagian supaya semua sebutan pemboleh ubah berada di sebelah kiri.

$$2r-3s=1$$

Pertimbangkan persamaan kedua. Tukar bahagian supaya semua sebutan pemboleh ubah berada di sebelah kiri.

$$3r+2s=4$$

Letakkan persamaan dalam bentuk piawai dan kemudian gunakan matriks untuk menyelesaikan sistem persamaan.

$$2r-3s=1,3r+2s=4$$

Tuliskan persamaan dalam bentuk matriks.

$$\left(\begin{matrix}2&-3\\3&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}r\\s\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\4\end{matrix}\right)$$

Darabkan ke kiri persamaan dengan matriks songsang bagi \left(\begin{matrix}2&-3\\3&2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&-3\\3&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}r\\s\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\4\end{matrix}\right)$$

Matriks hasil darab dan sonsangnya adalah matriks identiti.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}r\\s\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\4\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$\left(\begin{matrix}r\\s\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\4\end{matrix}\right)$$

Untuk matriks 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matriks songsang ialah \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), jadi persamaan matriks tersebut boleh ditulis semula sebagai masalah pendaraban matriks.

$$\left(\begin{matrix}r\\s\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{2\times 2-\left(-3\times 3\right)}&-\frac{-3}{2\times 2-\left(-3\times 3\right)}\\-\frac{3}{2\times 2-\left(-3\times 3\right)}&\frac{2}{2\times 2-\left(-3\times 3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\4\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}r\\s\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{13}&\frac{3}{13}\\-\frac{3}{13}&\frac{2}{13}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\4\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks tersebut.

$$\left(\begin{matrix}r\\s\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{13}+\frac{3}{13}\times 4\\-\frac{3}{13}+\frac{2}{13}\times 4\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}r\\s\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{14}{13}\\\frac{5}{13}\end{matrix}\right)$$

Ekstrak unsur matriks r dan s.

$$r=\frac{14}{13},s=\frac{5}{13}$$

Langkah Menggunakan Penghapusan

Pertimbangkan persamaan pertama. Tukar bahagian supaya semua sebutan pemboleh ubah berada di sebelah kiri.

$$2r-3s=1$$

Pertimbangkan persamaan kedua. Tukar bahagian supaya semua sebutan pemboleh ubah berada di sebelah kiri.

$$3r+2s=4$$

Untuk menyelesaikan dengan penghapusan, pekali bagi salah satu daripada pemboleh ubah mestilah sama dalam kedua-dua persamaan supaya pemboleh ubah tersebut akan saling membatalkan apabila satu persamaan ditolak daripada yang satu lagi.

$$2r-3s=1,3r+2s=4$$

Untuk menjadikan 2r dan 3r sama, darabkan semua sebutan pada setiap belah persamaan pertama dengan 3 dan semua sebutan pada setiap belah yang kedua dengan 2.

$$3\times 2r+3\left(-3\right)s=3,2\times 3r+2\times 2s=2\times 4$$

Permudahkan.

$$6r-9s=3,6r+4s=8$$

Tolak 6r+4s=8 daripada 6r-9s=3 dengan menolak sebutan serupa pada setiap belah tanda sama dengan.

$$6r-6r-9s-4s=3-8$$

Tambahkan 6r pada -6r. Seubtan 6r dan -6r saling membatalkan dan meninggalkan persamaan dengan hanya satu pemboleh ubah yang boleh diselesaikan.

$$-9s-4s=3-8$$

Tambahkan -9s pada -4s.

$$-13s=3-8$$

Tambahkan 3 pada -8.

$$-13s=-5$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan -13.

$$s=\frac{5}{13}$$

Gantikan \frac{5}{13} dengan s dalam 3r+2s=4. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk r.

$$3r+2\times \frac{5}{13}=4$$

Darabkan 2 kali \frac{5}{13}.

$$3r+\frac{10}{13}=4$$

Tolak \frac{10}{13} daripada kedua-dua belah persamaan.

$$3r=\frac{42}{13}$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 3.

$$r=\frac{14}{13}$$

Sistem kini diselesaikan.

$$r=\frac{14}{13},s=\frac{5}{13}$$