Selesaikan {l}{0.5x+y=9}{1.6x+0.2y=13}

$$\left. \begin{array} { l } { 0.5 x + y = 9 } \\ { 1.6 x + 0.2 y = 13 } \end{array} \right.$$

Selesaikan untuk x, y

$$x = \frac{112}{15} = 7\frac{7}{15} \approx 7.466666667$$

$$y = \frac{79}{15} = 5\frac{4}{15} \approx 5.266666667$$

Langkah Menggunakan Penggantian

Untuk menyelesaikan sepasang persamaan menggunakan penggantian, mula-mula selesaikan satu daripada persamaan untuk salah satu daripada pemboleh ubah. Kemudian gantikan hasil untuk pemboleh ubah itu dalam persamaan lain.

$$0.5x+y=9,1.6x+0.2y=13$$

Pilih salah satu daripada persamaan dan selesaikannya untuk x dengan mengasingkan x di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$0.5x+y=9$$

Tolak y daripada kedua-dua belah persamaan.

$$0.5x=-y+9$$

Darabkan kedua-dua belah dengan 2.

$$x=2\left(-y+9\right)$$

Darabkan 2 kali -y+9.

$$x=-2y+18$$

Gantikan -2y+18 dengan x dalam persamaan lain, 1.6x+0.2y=13.

$$1.6\left(-2y+18\right)+0.2y=13$$

Darabkan 1.6 kali -2y+18.

$$-3.2y+28.8+0.2y=13$$

Tambahkan -\frac{16y}{5} pada \frac{y}{5}.

$$-3y+28.8=13$$

Tolak 28.8 daripada kedua-dua belah persamaan.

$$-3y=-15.8$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan -3.

$$y=\frac{79}{15}$$

Gantikan \frac{79}{15} dengan y dalam x=-2y+18. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$x=-2\times \frac{79}{15}+18$$

Darabkan -2 kali \frac{79}{15}.

$$x=-\frac{158}{15}+18$$

Tambahkan 18 pada -\frac{158}{15}.

$$x=\frac{112}{15}$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=\frac{112}{15},y=\frac{79}{15}$$

Langkah Menggunakan Matriks

Letakkan persamaan dalam bentuk piawai dan kemudian gunakan matriks untuk menyelesaikan sistem persamaan.

$$0.5x+y=9,1.6x+0.2y=13$$

Tuliskan persamaan dalam bentuk matriks.

$$\left(\begin{matrix}0.5&1\\1.6&0.2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}9\\13\end{matrix}\right)$$

Darabkan ke kiri persamaan dengan matriks songsang bagi \left(\begin{matrix}0.5&1\\1.6&0.2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}0.5&1\\1.6&0.2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0.5&1\\1.6&0.2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}0.5&1\\1.6&0.2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\13\end{matrix}\right)$$

Matriks hasil darab dan sonsangnya adalah matriks identiti.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}0.5&1\\1.6&0.2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\13\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}0.5&1\\1.6&0.2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\13\end{matrix}\right)$$

Untuk matriks 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matriks songsang ialah \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), jadi persamaan matriks tersebut boleh ditulis semula sebagai masalah pendaraban matriks.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{0.2}{0.5\times 0.2-1.6}&-\frac{1}{0.5\times 0.2-1.6}\\-\frac{1.6}{0.5\times 0.2-1.6}&\frac{0.5}{0.5\times 0.2-1.6}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}9\\13\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{15}&\frac{2}{3}\\\frac{16}{15}&-\frac{1}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}9\\13\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks tersebut.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{15}\times 9+\frac{2}{3}\times 13\\\frac{16}{15}\times 9-\frac{1}{3}\times 13\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{112}{15}\\\frac{79}{15}\end{matrix}\right)$$

Ekstrak unsur matriks x dan y.

$$x=\frac{112}{15},y=\frac{79}{15}$$

Langkah Menggunakan Penghapusan

Untuk menyelesaikan dengan penghapusan, pekali bagi salah satu daripada pemboleh ubah mestilah sama dalam kedua-dua persamaan supaya pemboleh ubah tersebut akan saling membatalkan apabila satu persamaan ditolak daripada yang satu lagi.

$$0.5x+y=9,1.6x+0.2y=13$$

Untuk menjadikan \frac{x}{2} dan \frac{8x}{5} sama, darabkan semua sebutan pada setiap belah persamaan pertama dengan 1.6 dan semua sebutan pada setiap belah yang kedua dengan 0.5.

$$1.6\times 0.5x+1.6y=1.6\times 9,0.5\times 1.6x+0.5\times 0.2y=0.5\times 13$$

Permudahkan.

$$0.8x+1.6y=14.4,0.8x+0.1y=6.5$$

Tolak 0.8x+0.1y=6.5 daripada 0.8x+1.6y=14.4 dengan menolak sebutan serupa pada setiap belah tanda sama dengan.

$$0.8x-0.8x+1.6y-0.1y=14.4-6.5$$

Tambahkan \frac{4x}{5} pada -\frac{4x}{5}. Seubtan \frac{4x}{5} dan -\frac{4x}{5} saling membatalkan dan meninggalkan persamaan dengan hanya satu pemboleh ubah yang boleh diselesaikan.

$$1.6y-0.1y=14.4-6.5$$

Tambahkan \frac{8y}{5} pada -\frac{y}{10}.

$$1.5y=14.4-6.5$$

Tambahkan 14.4 pada -6.5 dengan mencari satu penyebut sepunya dan menambah pengangka. Kemudian kurangkan pecahan kepada sebutan terendah yang mungkin.

$$1.5y=7.9$$

Bahagikan kedua-dua belah persamaan dengan 1.5 yang bersamaan dengan mendarab kedua-dua belah dengan salingan pecahan.

$$y=\frac{79}{15}$$

Gantikan \frac{79}{15} dengan y dalam 1.6x+0.2y=13. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$1.6x+0.2\times \frac{79}{15}=13$$

Darabkan 0.2 dengan \frac{79}{15} dengan mendarabkan pengangka dengan pengangka dan penyebut dengan penyebut. Kemudian kurangkan pecahan tersebut ke sebutan terendah yang mungkin.

$$1.6x+\frac{79}{75}=13$$

Tolak \frac{79}{75} daripada kedua-dua belah persamaan.

$$1.6x=\frac{896}{75}$$

Bahagikan kedua-dua belah persamaan dengan 1.6 yang bersamaan dengan mendarab kedua-dua belah dengan salingan pecahan.

$$x=\frac{112}{15}$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=\frac{112}{15},y=\frac{79}{15}$$