Selesaikan {l}{0.4x+0.6y=-760}{-0.8x-0.3y=800}

$$\left. \begin{array} { l } { 0.4 x + 0.6 y = - 760 } \\ { - 0.8 x - 0.3 y = 800 } \end{array} \right.$$

Selesaikan untuk x, y

$$x=-700$$

$$y=-800$$

Langkah Menggunakan Penggantian

Untuk menyelesaikan sepasang persamaan menggunakan penggantian, mula-mula selesaikan satu daripada persamaan untuk salah satu daripada pemboleh ubah. Kemudian gantikan hasil untuk pemboleh ubah itu dalam persamaan lain.

$$0.4x+0.6y=-760,-0.8x-0.3y=800$$

Pilih salah satu daripada persamaan dan selesaikannya untuk x dengan mengasingkan x di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$0.4x+0.6y=-760$$

Tolak \frac{3y}{5} daripada kedua-dua belah persamaan.

$$0.4x=-0.6y-760$$

Bahagikan kedua-dua belah persamaan dengan 0.4 yang bersamaan dengan mendarab kedua-dua belah dengan salingan pecahan.

$$x=2.5\left(-0.6y-760\right)$$

Darabkan 2.5 kali -\frac{3y}{5}-760.

$$x=-1.5y-1900$$

Gantikan -\frac{3y}{2}-1900 dengan x dalam persamaan lain, -0.8x-0.3y=800.

$$-0.8\left(-1.5y-1900\right)-0.3y=800$$

Darabkan -0.8 kali -\frac{3y}{2}-1900.

$$1.2y+1520-0.3y=800$$

Tambahkan \frac{6y}{5} pada -\frac{3y}{10}.

$$0.9y+1520=800$$

Tolak 1520 daripada kedua-dua belah persamaan.

$$0.9y=-720$$

Bahagikan kedua-dua belah persamaan dengan 0.9 yang bersamaan dengan mendarab kedua-dua belah dengan salingan pecahan.

$$y=-800$$

Gantikan -800 dengan y dalam x=-1.5y-1900. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$x=-1.5\left(-800\right)-1900$$

Darabkan -1.5 kali -800.

$$x=1200-1900$$

Tambahkan -1900 pada 1200.

$$x=-700$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=-700,y=-800$$

Langkah Menggunakan Matriks

Letakkan persamaan dalam bentuk piawai dan kemudian gunakan matriks untuk menyelesaikan sistem persamaan.

$$0.4x+0.6y=-760,-0.8x-0.3y=800$$

Tuliskan persamaan dalam bentuk matriks.

$$\left(\begin{matrix}0.4&0.6\\-0.8&-0.3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-760\\800\end{matrix}\right)$$

Darabkan ke kiri persamaan dengan matriks songsang bagi \left(\begin{matrix}0.4&0.6\\-0.8&-0.3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}0.4&0.6\\-0.8&-0.3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0.4&0.6\\-0.8&-0.3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}0.4&0.6\\-0.8&-0.3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-760\\800\end{matrix}\right)$$

Matriks hasil darab dan sonsangnya adalah matriks identiti.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}0.4&0.6\\-0.8&-0.3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-760\\800\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}0.4&0.6\\-0.8&-0.3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-760\\800\end{matrix}\right)$$

Untuk matriks 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matriks songsang ialah \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), jadi persamaan matriks tersebut boleh ditulis semula sebagai masalah pendaraban matriks.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{0.3}{0.4\left(-0.3\right)-0.6\left(-0.8\right)}&-\frac{0.6}{0.4\left(-0.3\right)-0.6\left(-0.8\right)}\\-\frac{-0.8}{0.4\left(-0.3\right)-0.6\left(-0.8\right)}&\frac{0.4}{0.4\left(-0.3\right)-0.6\left(-0.8\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-760\\800\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{5}{6}&-\frac{5}{3}\\\frac{20}{9}&\frac{10}{9}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-760\\800\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks tersebut.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{5}{6}\left(-760\right)-\frac{5}{3}\times 800\\\frac{20}{9}\left(-760\right)+\frac{10}{9}\times 800\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-700\\-800\end{matrix}\right)$$

Ekstrak unsur matriks x dan y.

$$x=-700,y=-800$$

Langkah Menggunakan Penghapusan

Untuk menyelesaikan dengan penghapusan, pekali bagi salah satu daripada pemboleh ubah mestilah sama dalam kedua-dua persamaan supaya pemboleh ubah tersebut akan saling membatalkan apabila satu persamaan ditolak daripada yang satu lagi.

$$0.4x+0.6y=-760,-0.8x-0.3y=800$$

Untuk menjadikan \frac{2x}{5} dan -\frac{4x}{5} sama, darabkan semua sebutan pada setiap belah persamaan pertama dengan -0.8 dan semua sebutan pada setiap belah yang kedua dengan 0.4.

$$-0.8\times 0.4x-0.8\times 0.6y=-0.8\left(-760\right),0.4\left(-0.8\right)x+0.4\left(-0.3\right)y=0.4\times 800$$

Permudahkan.

$$-0.32x-0.48y=608,-0.32x-0.12y=320$$

Tolak -0.32x-0.12y=320 daripada -0.32x-0.48y=608 dengan menolak sebutan serupa pada setiap belah tanda sama dengan.

$$-0.32x+0.32x-0.48y+0.12y=608-320$$

Tambahkan -\frac{8x}{25} pada \frac{8x}{25}. Seubtan -\frac{8x}{25} dan \frac{8x}{25} saling membatalkan dan meninggalkan persamaan dengan hanya satu pemboleh ubah yang boleh diselesaikan.

$$-0.48y+0.12y=608-320$$

Tambahkan -\frac{12y}{25} pada \frac{3y}{25}.

$$-0.36y=608-320$$

Tambahkan 608 pada -320.

$$-0.36y=288$$

Bahagikan kedua-dua belah persamaan dengan -0.36 yang bersamaan dengan mendarab kedua-dua belah dengan salingan pecahan.

$$y=-800$$

Gantikan -800 dengan y dalam -0.8x-0.3y=800. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$-0.8x-0.3\left(-800\right)=800$$

Darabkan -0.3 kali -800.

$$-0.8x+240=800$$

Tolak 240 daripada kedua-dua belah persamaan.

$$-0.8x=560$$

Bahagikan kedua-dua belah persamaan dengan -0.8 yang bersamaan dengan mendarab kedua-dua belah dengan salingan pecahan.

$$x=-700$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=-700,y=-800$$