Selesaikan {l}{0.4x+0.3y=1.7}{0.7x-0.2y=0.8}

$$\left. \begin{array} { l } { 0.4 x + 0.3 y = 1.7 } \\ { 0.7 x - 0.2 y = 0.8 } \end{array} \right.$$

Selesaikan untuk x, y

$$x=2$$

$$y=3$$

Langkah Menggunakan Penggantian

Untuk menyelesaikan sepasang persamaan menggunakan penggantian, mula-mula selesaikan satu daripada persamaan untuk salah satu daripada pemboleh ubah. Kemudian gantikan hasil untuk pemboleh ubah itu dalam persamaan lain.

$$0.4x+0.3y=1.7,0.7x-0.2y=0.8$$

Pilih salah satu daripada persamaan dan selesaikannya untuk x dengan mengasingkan x di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$0.4x+0.3y=1.7$$

Tolak \frac{3y}{10} daripada kedua-dua belah persamaan.

$$0.4x=-0.3y+1.7$$

Bahagikan kedua-dua belah persamaan dengan 0.4 yang bersamaan dengan mendarab kedua-dua belah dengan salingan pecahan.

$$x=2.5\left(-0.3y+1.7\right)$$

Darabkan 2.5 kali \frac{-3y+17}{10}.

$$x=-0.75y+4.25$$

Gantikan \frac{-3y+17}{4} dengan x dalam persamaan lain, 0.7x-0.2y=0.8.

$$0.7\left(-0.75y+4.25\right)-0.2y=0.8$$

Darabkan 0.7 kali \frac{-3y+17}{4}.

$$-0.525y+2.975-0.2y=0.8$$

Tambahkan -\frac{21y}{40} pada -\frac{y}{5}.

$$-0.725y+2.975=0.8$$

Tolak 2.975 daripada kedua-dua belah persamaan.

$$-0.725y=-2.175$$

Bahagikan kedua-dua belah persamaan dengan -0.725 yang bersamaan dengan mendarab kedua-dua belah dengan salingan pecahan.

$$y=3$$

Gantikan 3 dengan y dalam x=-0.75y+4.25. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$x=-0.75\times 3+4.25$$

Darabkan -0.75 kali 3.

$$x=\frac{-9+17}{4}$$

Tambahkan 4.25 pada -2.25 dengan mencari satu penyebut sepunya dan menambah pengangka. Kemudian kurangkan pecahan kepada sebutan terendah yang mungkin.

$$x=2$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=2,y=3$$

Langkah Menggunakan Matriks

Letakkan persamaan dalam bentuk piawai dan kemudian gunakan matriks untuk menyelesaikan sistem persamaan.

$$0.4x+0.3y=1.7,0.7x-0.2y=0.8$$

Tuliskan persamaan dalam bentuk matriks.

$$\left(\begin{matrix}0.4&0.3\\0.7&-0.2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1.7\\0.8\end{matrix}\right)$$

Darabkan ke kiri persamaan dengan matriks songsang bagi \left(\begin{matrix}0.4&0.3\\0.7&-0.2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}0.4&0.3\\0.7&-0.2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0.4&0.3\\0.7&-0.2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}0.4&0.3\\0.7&-0.2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1.7\\0.8\end{matrix}\right)$$

Matriks hasil darab dan sonsangnya adalah matriks identiti.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}0.4&0.3\\0.7&-0.2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1.7\\0.8\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}0.4&0.3\\0.7&-0.2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1.7\\0.8\end{matrix}\right)$$

Untuk matriks 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matriks songsang ialah \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), jadi persamaan matriks tersebut boleh ditulis semula sebagai masalah pendaraban matriks.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{0.2}{0.4\left(-0.2\right)-0.3\times 0.7}&-\frac{0.3}{0.4\left(-0.2\right)-0.3\times 0.7}\\-\frac{0.7}{0.4\left(-0.2\right)-0.3\times 0.7}&\frac{0.4}{0.4\left(-0.2\right)-0.3\times 0.7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1.7\\0.8\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{20}{29}&\frac{30}{29}\\\frac{70}{29}&-\frac{40}{29}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1.7\\0.8\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks tersebut.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{20}{29}\times 1.7+\frac{30}{29}\times 0.8\\\frac{70}{29}\times 1.7-\frac{40}{29}\times 0.8\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\3\end{matrix}\right)$$

Ekstrak unsur matriks x dan y.

$$x=2,y=3$$

Langkah Menggunakan Penghapusan

Untuk menyelesaikan dengan penghapusan, pekali bagi salah satu daripada pemboleh ubah mestilah sama dalam kedua-dua persamaan supaya pemboleh ubah tersebut akan saling membatalkan apabila satu persamaan ditolak daripada yang satu lagi.

$$0.4x+0.3y=1.7,0.7x-0.2y=0.8$$

Untuk menjadikan \frac{2x}{5} dan \frac{7x}{10} sama, darabkan semua sebutan pada setiap belah persamaan pertama dengan 0.7 dan semua sebutan pada setiap belah yang kedua dengan 0.4.

$$0.7\times 0.4x+0.7\times 0.3y=0.7\times 1.7,0.4\times 0.7x+0.4\left(-0.2\right)y=0.4\times 0.8$$

Permudahkan.

$$0.28x+0.21y=1.19,0.28x-0.08y=0.32$$

Tolak 0.28x-0.08y=0.32 daripada 0.28x+0.21y=1.19 dengan menolak sebutan serupa pada setiap belah tanda sama dengan.

$$0.28x-0.28x+0.21y+0.08y=1.19-0.32$$

Tambahkan \frac{7x}{25} pada -\frac{7x}{25}. Seubtan \frac{7x}{25} dan -\frac{7x}{25} saling membatalkan dan meninggalkan persamaan dengan hanya satu pemboleh ubah yang boleh diselesaikan.

$$0.21y+0.08y=1.19-0.32$$

Tambahkan \frac{21y}{100} pada \frac{2y}{25}.

$$0.29y=1.19-0.32$$

Tambahkan 1.19 pada -0.32 dengan mencari satu penyebut sepunya dan menambah pengangka. Kemudian kurangkan pecahan kepada sebutan terendah yang mungkin.

$$0.29y=0.87$$

Bahagikan kedua-dua belah persamaan dengan 0.29 yang bersamaan dengan mendarab kedua-dua belah dengan salingan pecahan.

$$y=3$$

Gantikan 3 dengan y dalam 0.7x-0.2y=0.8. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$0.7x-0.2\times 3=0.8$$

Darabkan -0.2 kali 3.

$$0.7x-0.6=0.8$$

Tambahkan 0.6 pada kedua-dua belah persamaan.

$$0.7x=1.4$$

Bahagikan kedua-dua belah persamaan dengan 0.7 yang bersamaan dengan mendarab kedua-dua belah dengan salingan pecahan.

$$x=2$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=2,y=3$$