Selesaikan {l}{0.2x+0.1y=-180}{-0.7x-0.2y=480}{text{Thesolutionis}}

$$\left. \begin{array} { l } { 0.2 x + 0.1 y = - 180 } \\ { - 0.7 x - 0.2 y = 480 } \\ { \text { The solution is } } \end{array} \right.$$

Selesaikan untuk x, y

$$x=-400$$

$$y=-1000$$

Langkah Menggunakan Penggantian

Untuk menyelesaikan sepasang persamaan menggunakan penggantian, mula-mula selesaikan satu daripada persamaan untuk salah satu daripada pemboleh ubah. Kemudian gantikan hasil untuk pemboleh ubah itu dalam persamaan lain.

$$0.2x+0.1y=-180,-0.7x-0.2y=480$$

Pilih salah satu daripada persamaan dan selesaikannya untuk x dengan mengasingkan x di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$0.2x+0.1y=-180$$

Tolak \frac{y}{10} daripada kedua-dua belah persamaan.

$$0.2x=-0.1y-180$$

Darabkan kedua-dua belah dengan 5.

$$x=5\left(-0.1y-180\right)$$

Darabkan 5 kali -\frac{y}{10}-180.

$$x=-0.5y-900$$

Gantikan -\frac{y}{2}-900 dengan x dalam persamaan lain, -0.7x-0.2y=480.

$$-0.7\left(-0.5y-900\right)-0.2y=480$$

Darabkan -0.7 kali -\frac{y}{2}-900.

$$0.35y+630-0.2y=480$$

Tambahkan \frac{7y}{20} pada -\frac{y}{5}.

$$0.15y+630=480$$

Tolak 630 daripada kedua-dua belah persamaan.

$$0.15y=-150$$

Bahagikan kedua-dua belah persamaan dengan 0.15 yang bersamaan dengan mendarab kedua-dua belah dengan salingan pecahan.

$$y=-1000$$

Gantikan -1000 dengan y dalam x=-0.5y-900. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$x=-0.5\left(-1000\right)-900$$

Darabkan -0.5 kali -1000.

$$x=500-900$$

Tambahkan -900 pada 500.

$$x=-400$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=-400,y=-1000$$

Langkah Menggunakan Matriks

Letakkan persamaan dalam bentuk piawai dan kemudian gunakan matriks untuk menyelesaikan sistem persamaan.

$$0.2x+0.1y=-180,-0.7x-0.2y=480$$

Tuliskan persamaan dalam bentuk matriks.

$$\left(\begin{matrix}0.2&0.1\\-0.7&-0.2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-180\\480\end{matrix}\right)$$

Darabkan ke kiri persamaan dengan matriks songsang bagi \left(\begin{matrix}0.2&0.1\\-0.7&-0.2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}0.2&0.1\\-0.7&-0.2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0.2&0.1\\-0.7&-0.2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}0.2&0.1\\-0.7&-0.2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-180\\480\end{matrix}\right)$$

Matriks hasil darab dan sonsangnya adalah matriks identiti.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}0.2&0.1\\-0.7&-0.2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-180\\480\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}0.2&0.1\\-0.7&-0.2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-180\\480\end{matrix}\right)$$

Untuk matriks 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matriks songsang ialah \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), jadi persamaan matriks tersebut boleh ditulis semula sebagai masalah pendaraban matriks.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{0.2}{0.2\left(-0.2\right)-0.1\left(-0.7\right)}&-\frac{0.1}{0.2\left(-0.2\right)-0.1\left(-0.7\right)}\\-\frac{-0.7}{0.2\left(-0.2\right)-0.1\left(-0.7\right)}&\frac{0.2}{0.2\left(-0.2\right)-0.1\left(-0.7\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-180\\480\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{20}{3}&-\frac{10}{3}\\\frac{70}{3}&\frac{20}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-180\\480\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks tersebut.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{20}{3}\left(-180\right)-\frac{10}{3}\times 480\\\frac{70}{3}\left(-180\right)+\frac{20}{3}\times 480\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-400\\-1000\end{matrix}\right)$$

Ekstrak unsur matriks x dan y.

$$x=-400,y=-1000$$

Langkah Menggunakan Penghapusan

Untuk menyelesaikan dengan penghapusan, pekali bagi salah satu daripada pemboleh ubah mestilah sama dalam kedua-dua persamaan supaya pemboleh ubah tersebut akan saling membatalkan apabila satu persamaan ditolak daripada yang satu lagi.

$$0.2x+0.1y=-180,-0.7x-0.2y=480$$

Untuk menjadikan \frac{x}{5} dan -\frac{7x}{10} sama, darabkan semua sebutan pada setiap belah persamaan pertama dengan -0.7 dan semua sebutan pada setiap belah yang kedua dengan 0.2.

$$-0.7\times 0.2x-0.7\times 0.1y=-0.7\left(-180\right),0.2\left(-0.7\right)x+0.2\left(-0.2\right)y=0.2\times 480$$

Permudahkan.

$$-0.14x-0.07y=126,-0.14x-0.04y=96$$

Tolak -0.14x-0.04y=96 daripada -0.14x-0.07y=126 dengan menolak sebutan serupa pada setiap belah tanda sama dengan.

$$-0.14x+0.14x-0.07y+0.04y=126-96$$

Tambahkan -\frac{7x}{50} pada \frac{7x}{50}. Seubtan -\frac{7x}{50} dan \frac{7x}{50} saling membatalkan dan meninggalkan persamaan dengan hanya satu pemboleh ubah yang boleh diselesaikan.

$$-0.07y+0.04y=126-96$$

Tambahkan -\frac{7y}{100} pada \frac{y}{25}.

$$-0.03y=126-96$$

Tambahkan 126 pada -96.

$$-0.03y=30$$

Bahagikan kedua-dua belah persamaan dengan -0.03 yang bersamaan dengan mendarab kedua-dua belah dengan salingan pecahan.

$$y=-1000$$

Gantikan -1000 dengan y dalam -0.7x-0.2y=480. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$-0.7x-0.2\left(-1000\right)=480$$

Darabkan -0.2 kali -1000.

$$-0.7x+200=480$$

Tolak 200 daripada kedua-dua belah persamaan.

$$-0.7x=280$$

Bahagikan kedua-dua belah persamaan dengan -0.7 yang bersamaan dengan mendarab kedua-dua belah dengan salingan pecahan.

$$x=-400$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=-400,y=-1000$$