Selesaikan {l}{0.04x+0.02y=5}{0.5(x-2)-0.4y=29}

$$\left. \begin{array} { l } { 0.04 x + 0.02 y = 5 } \\ { 0.5 ( x - 2 ) - 0.4 y = 29 } \end{array} \right.$$

Selesaikan untuk x, y

$$x=100$$

$$y=50$$

Langkah Menggunakan Penggantian

Untuk menyelesaikan sepasang persamaan menggunakan penggantian, mula-mula selesaikan satu daripada persamaan untuk salah satu daripada pemboleh ubah. Kemudian gantikan hasil untuk pemboleh ubah itu dalam persamaan lain.

$$0.04x+0.02y=5,0.5\left(x-2\right)-0.4y=29$$

Pilih salah satu daripada persamaan dan selesaikannya untuk x dengan mengasingkan x di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$0.04x+0.02y=5$$

Tolak \frac{y}{50} daripada kedua-dua belah persamaan.

$$0.04x=-0.02y+5$$

Darabkan kedua-dua belah dengan 25.

$$x=25\left(-0.02y+5\right)$$

Darabkan 25 kali -\frac{y}{50}+5.

$$x=-0.5y+125$$

Gantikan -\frac{y}{2}+125 dengan x dalam persamaan lain, 0.5\left(x-2\right)-0.4y=29.

$$0.5\left(-0.5y+125-2\right)-0.4y=29$$

Tambahkan 125 pada -2.

$$0.5\left(-0.5y+123\right)-0.4y=29$$

Darabkan 0.5 kali -\frac{y}{2}+123.

$$-0.25y+61.5-0.4y=29$$

Tambahkan -\frac{y}{4} pada -\frac{2y}{5}.

$$-0.65y+61.5=29$$

Tolak 61.5 daripada kedua-dua belah persamaan.

$$-0.65y=-32.5$$

Bahagikan kedua-dua belah persamaan dengan -0.65 yang bersamaan dengan mendarab kedua-dua belah dengan salingan pecahan.

$$y=50$$

Gantikan 50 dengan y dalam x=-0.5y+125. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$x=-0.5\times 50+125$$

Darabkan -0.5 kali 50.

$$x=-25+125$$

Tambahkan 125 pada -25.

$$x=100$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=100,y=50$$

Langkah Menggunakan Matriks

Letakkan persamaan dalam bentuk piawai dan kemudian gunakan matriks untuk menyelesaikan sistem persamaan.

$$0.04x+0.02y=5,0.5\left(x-2\right)-0.4y=29$$

Permudahkan persamaan kedua untuk meletakkannya dalam bentuk piawai.

$$0.5\left(x-2\right)-0.4y=29$$

Darabkan 0.5 kali x-2.

$$0.5x-1-0.4y=29$$

Tambahkan 1 pada kedua-dua belah persamaan.

$$0.5x-0.4y=30$$

Tuliskan persamaan dalam bentuk matriks.

$$\left(\begin{matrix}0.04&0.02\\0.5&-0.4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\30\end{matrix}\right)$$

Darabkan ke kiri persamaan dengan matriks songsang bagi \left(\begin{matrix}0.04&0.02\\0.5&-0.4\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}0.04&0.02\\0.5&-0.4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0.04&0.02\\0.5&-0.4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}0.04&0.02\\0.5&-0.4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\30\end{matrix}\right)$$

Matriks hasil darab dan sonsangnya adalah matriks identiti.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}0.04&0.02\\0.5&-0.4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\30\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}0.04&0.02\\0.5&-0.4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\30\end{matrix}\right)$$

Untuk matriks 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matriks songsang ialah \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), jadi persamaan matriks tersebut boleh ditulis semula sebagai masalah pendaraban matriks.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{0.4}{0.04\left(-0.4\right)-0.02\times 0.5}&-\frac{0.02}{0.04\left(-0.4\right)-0.02\times 0.5}\\-\frac{0.5}{0.04\left(-0.4\right)-0.02\times 0.5}&\frac{0.04}{0.04\left(-0.4\right)-0.02\times 0.5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\30\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{200}{13}&\frac{10}{13}\\\frac{250}{13}&-\frac{20}{13}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\30\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks tersebut.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{200}{13}\times 5+\frac{10}{13}\times 30\\\frac{250}{13}\times 5-\frac{20}{13}\times 30\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}100\\50\end{matrix}\right)$$

Ekstrak unsur matriks x dan y.

$$x=100,y=50$$