Selesaikan {l}{-x-y=-13}{-3x+2y=-19}

$$\left. \begin{array} { l } { - x - y = - 13 } \\ { - 3 x + 2 y = - 19 } \end{array} \right.$$

Selesaikan untuk x, y

$$x=9$$

$$y=4$$

Langkah Menggunakan Penggantian

Untuk menyelesaikan sepasang persamaan menggunakan penggantian, mula-mula selesaikan satu daripada persamaan untuk salah satu daripada pemboleh ubah. Kemudian gantikan hasil untuk pemboleh ubah itu dalam persamaan lain.

$$-x-y=-13,-3x+2y=-19$$

Pilih salah satu daripada persamaan dan selesaikannya untuk x dengan mengasingkan x di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$-x-y=-13$$

Tambahkan y pada kedua-dua belah persamaan.

$$-x=y-13$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan -1.

$$x=-\left(y-13\right)$$

Darabkan -1 kali y-13.

$$x=-y+13$$

Gantikan -y+13 dengan x dalam persamaan lain, -3x+2y=-19.

$$-3\left(-y+13\right)+2y=-19$$

Darabkan -3 kali -y+13.

$$3y-39+2y=-19$$

Tambahkan 3y pada 2y.

$$5y-39=-19$$

Tambahkan 39 pada kedua-dua belah persamaan.

$$5y=20$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 5.

$$y=4$$

Gantikan 4 dengan y dalam x=-y+13. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$x=-4+13$$

Tambahkan 13 pada -4.

$$x=9$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=9,y=4$$

Langkah Menggunakan Matriks

Letakkan persamaan dalam bentuk piawai dan kemudian gunakan matriks untuk menyelesaikan sistem persamaan.

$$-x-y=-13,-3x+2y=-19$$

Tuliskan persamaan dalam bentuk matriks.

$$\left(\begin{matrix}-1&-1\\-3&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-13\\-19\end{matrix}\right)$$

Darabkan ke kiri persamaan dengan matriks songsang bagi \left(\begin{matrix}-1&-1\\-3&2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}-1&-1\\-3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1&-1\\-3&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-1&-1\\-3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-13\\-19\end{matrix}\right)$$

Matriks hasil darab dan sonsangnya adalah matriks identiti.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-1&-1\\-3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-13\\-19\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-1&-1\\-3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-13\\-19\end{matrix}\right)$$

Untuk matriks 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matriks songsang ialah \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), jadi persamaan matriks tersebut boleh ditulis semula sebagai masalah pendaraban matriks.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{-2-\left(-\left(-3\right)\right)}&-\frac{-1}{-2-\left(-\left(-3\right)\right)}\\-\frac{-3}{-2-\left(-\left(-3\right)\right)}&-\frac{1}{-2-\left(-\left(-3\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-13\\-19\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{5}&-\frac{1}{5}\\-\frac{3}{5}&\frac{1}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-13\\-19\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks tersebut.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{5}\left(-13\right)-\frac{1}{5}\left(-19\right)\\-\frac{3}{5}\left(-13\right)+\frac{1}{5}\left(-19\right)\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}9\\4\end{matrix}\right)$$

Ekstrak unsur matriks x dan y.

$$x=9,y=4$$

Langkah Menggunakan Penghapusan

Untuk menyelesaikan dengan penghapusan, pekali bagi salah satu daripada pemboleh ubah mestilah sama dalam kedua-dua persamaan supaya pemboleh ubah tersebut akan saling membatalkan apabila satu persamaan ditolak daripada yang satu lagi.

$$-x-y=-13,-3x+2y=-19$$

Untuk menjadikan -x dan -3x sama, darabkan semua sebutan pada setiap belah persamaan pertama dengan -3 dan semua sebutan pada setiap belah yang kedua dengan -1.

$$-3\left(-1\right)x-3\left(-1\right)y=-3\left(-13\right),-\left(-3\right)x-2y=-\left(-19\right)$$

Permudahkan.

$$3x+3y=39,3x-2y=19$$

Tolak 3x-2y=19 daripada 3x+3y=39 dengan menolak sebutan serupa pada setiap belah tanda sama dengan.

$$3x-3x+3y+2y=39-19$$

Tambahkan 3x pada -3x. Seubtan 3x dan -3x saling membatalkan dan meninggalkan persamaan dengan hanya satu pemboleh ubah yang boleh diselesaikan.

$$3y+2y=39-19$$

Tambahkan 3y pada 2y.

$$5y=39-19$$

Tambahkan 39 pada -19.

$$5y=20$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 5.

$$y=4$$

Gantikan 4 dengan y dalam -3x+2y=-19. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$-3x+2\times 4=-19$$

Darabkan 2 kali 4.

$$-3x+8=-19$$

Tolak 8 daripada kedua-dua belah persamaan.

$$-3x=-27$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan -3.

$$x=9$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=9,y=4$$