Selesaikan {l}{-x-5y=11}{2x+y=9}

$$\left. \begin{array} { l } { - x - 5 y = 11 } \\ { 2 x + y = 9 } \end{array} \right.$$

Selesaikan untuk x, y

$$x = \frac{56}{9} = 6\frac{2}{9} \approx 6.222222222$$

$$y = -\frac{31}{9} = -3\frac{4}{9} \approx -3.444444444$$

Langkah Menggunakan Penggantian

Untuk menyelesaikan sepasang persamaan menggunakan penggantian, mula-mula selesaikan satu daripada persamaan untuk salah satu daripada pemboleh ubah. Kemudian gantikan hasil untuk pemboleh ubah itu dalam persamaan lain.

$$-x-5y=11,2x+y=9$$

Pilih salah satu daripada persamaan dan selesaikannya untuk x dengan mengasingkan x di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$-x-5y=11$$

Tambahkan 5y pada kedua-dua belah persamaan.

$$-x=5y+11$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan -1.

$$x=-\left(5y+11\right)$$

Darabkan -1 kali 5y+11.

$$x=-5y-11$$

Gantikan -5y-11 dengan x dalam persamaan lain, 2x+y=9.

$$2\left(-5y-11\right)+y=9$$

Darabkan 2 kali -5y-11.

$$-10y-22+y=9$$

Tambahkan -10y pada y.

$$-9y-22=9$$

Tambahkan 22 pada kedua-dua belah persamaan.

$$-9y=31$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan -9.

$$y=-\frac{31}{9}$$

Gantikan -\frac{31}{9} dengan y dalam x=-5y-11. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$x=-5\left(-\frac{31}{9}\right)-11$$

Darabkan -5 kali -\frac{31}{9}.

$$x=\frac{155}{9}-11$$

Tambahkan -11 pada \frac{155}{9}.

$$x=\frac{56}{9}$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=\frac{56}{9},y=-\frac{31}{9}$$

Langkah Menggunakan Matriks

Letakkan persamaan dalam bentuk piawai dan kemudian gunakan matriks untuk menyelesaikan sistem persamaan.

$$-x-5y=11,2x+y=9$$

Tuliskan persamaan dalam bentuk matriks.

$$\left(\begin{matrix}-1&-5\\2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}11\\9\end{matrix}\right)$$

Darabkan ke kiri persamaan dengan matriks songsang bagi \left(\begin{matrix}-1&-5\\2&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}-1&-5\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1&-5\\2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-1&-5\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}11\\9\end{matrix}\right)$$

Matriks hasil darab dan sonsangnya adalah matriks identiti.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-1&-5\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}11\\9\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-1&-5\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}11\\9\end{matrix}\right)$$

Untuk matriks 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matriks songsang ialah \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), jadi persamaan matriks tersebut boleh ditulis semula sebagai masalah pendaraban matriks.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{-1-\left(-5\times 2\right)}&-\frac{-5}{-1-\left(-5\times 2\right)}\\-\frac{2}{-1-\left(-5\times 2\right)}&-\frac{1}{-1-\left(-5\times 2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}11\\9\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{9}&\frac{5}{9}\\-\frac{2}{9}&-\frac{1}{9}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}11\\9\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks tersebut.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{9}\times 11+\frac{5}{9}\times 9\\-\frac{2}{9}\times 11-\frac{1}{9}\times 9\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{56}{9}\\-\frac{31}{9}\end{matrix}\right)$$

Ekstrak unsur matriks x dan y.

$$x=\frac{56}{9},y=-\frac{31}{9}$$

Langkah Menggunakan Penghapusan

Untuk menyelesaikan dengan penghapusan, pekali bagi salah satu daripada pemboleh ubah mestilah sama dalam kedua-dua persamaan supaya pemboleh ubah tersebut akan saling membatalkan apabila satu persamaan ditolak daripada yang satu lagi.

$$-x-5y=11,2x+y=9$$

Untuk menjadikan -x dan 2x sama, darabkan semua sebutan pada setiap belah persamaan pertama dengan 2 dan semua sebutan pada setiap belah yang kedua dengan -1.

$$2\left(-1\right)x+2\left(-5\right)y=2\times 11,-2x-y=-9$$

Permudahkan.

$$-2x-10y=22,-2x-y=-9$$

Tolak -2x-y=-9 daripada -2x-10y=22 dengan menolak sebutan serupa pada setiap belah tanda sama dengan.

$$-2x+2x-10y+y=22+9$$

Tambahkan -2x pada 2x. Seubtan -2x dan 2x saling membatalkan dan meninggalkan persamaan dengan hanya satu pemboleh ubah yang boleh diselesaikan.

$$-10y+y=22+9$$

Tambahkan -10y pada y.

$$-9y=22+9$$

Tambahkan 22 pada 9.

$$-9y=31$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan -9.

$$y=-\frac{31}{9}$$

Gantikan -\frac{31}{9} dengan y dalam 2x+y=9. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$2x-\frac{31}{9}=9$$

Tambahkan \frac{31}{9} pada kedua-dua belah persamaan.

$$2x=\frac{112}{9}$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 2.

$$x=\frac{56}{9}$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=\frac{56}{9},y=-\frac{31}{9}$$