Selesaikan {l}{-x-3y=6}{2x+3y=3}

$$\left. \begin{array} { l } { - x - 3 y = 6 } \\ { 2 x + 3 y = 3 } \end{array} \right.$$

Selesaikan untuk x, y

$$x=9$$

$$y=-5$$

Langkah Menggunakan Penggantian

Untuk menyelesaikan sepasang persamaan menggunakan penggantian, mula-mula selesaikan satu daripada persamaan untuk salah satu daripada pemboleh ubah. Kemudian gantikan hasil untuk pemboleh ubah itu dalam persamaan lain.

$$-x-3y=6,2x+3y=3$$

Pilih salah satu daripada persamaan dan selesaikannya untuk x dengan mengasingkan x di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$-x-3y=6$$

Tambahkan 3y pada kedua-dua belah persamaan.

$$-x=3y+6$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan -1.

$$x=-\left(3y+6\right)$$

Darabkan -1 kali 6+3y.

$$x=-3y-6$$

Gantikan -3y-6 dengan x dalam persamaan lain, 2x+3y=3.

$$2\left(-3y-6\right)+3y=3$$

Darabkan 2 kali -3y-6.

$$-6y-12+3y=3$$

Tambahkan -6y pada 3y.

$$-3y-12=3$$

Tambahkan 12 pada kedua-dua belah persamaan.

$$-3y=15$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan -3.

$$y=-5$$

Gantikan -5 dengan y dalam x=-3y-6. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$x=-3\left(-5\right)-6$$

Darabkan -3 kali -5.

$$x=15-6$$

Tambahkan -6 pada 15.

$$x=9$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=9,y=-5$$

Langkah Menggunakan Matriks

Letakkan persamaan dalam bentuk piawai dan kemudian gunakan matriks untuk menyelesaikan sistem persamaan.

$$-x-3y=6,2x+3y=3$$

Tuliskan persamaan dalam bentuk matriks.

$$\left(\begin{matrix}-1&-3\\2&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6\\3\end{matrix}\right)$$

Darabkan ke kiri persamaan dengan matriks songsang bagi \left(\begin{matrix}-1&-3\\2&3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}-1&-3\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1&-3\\2&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-1&-3\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\3\end{matrix}\right)$$

Matriks hasil darab dan sonsangnya adalah matriks identiti.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-1&-3\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\3\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-1&-3\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\3\end{matrix}\right)$$

Untuk matriks 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matriks songsang ialah \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), jadi persamaan matriks tersebut boleh ditulis semula sebagai masalah pendaraban matriks.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{-3-\left(-3\times 2\right)}&-\frac{-3}{-3-\left(-3\times 2\right)}\\-\frac{2}{-3-\left(-3\times 2\right)}&-\frac{1}{-3-\left(-3\times 2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\3\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1&1\\-\frac{2}{3}&-\frac{1}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\3\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks tersebut.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6+3\\-\frac{2}{3}\times 6-\frac{1}{3}\times 3\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}9\\-5\end{matrix}\right)$$

Ekstrak unsur matriks x dan y.

$$x=9,y=-5$$

Langkah Menggunakan Penghapusan

Untuk menyelesaikan dengan penghapusan, pekali bagi salah satu daripada pemboleh ubah mestilah sama dalam kedua-dua persamaan supaya pemboleh ubah tersebut akan saling membatalkan apabila satu persamaan ditolak daripada yang satu lagi.

$$-x-3y=6,2x+3y=3$$

Untuk menjadikan -x dan 2x sama, darabkan semua sebutan pada setiap belah persamaan pertama dengan 2 dan semua sebutan pada setiap belah yang kedua dengan -1.

$$2\left(-1\right)x+2\left(-3\right)y=2\times 6,-2x-3y=-3$$

Permudahkan.

$$-2x-6y=12,-2x-3y=-3$$

Tolak -2x-3y=-3 daripada -2x-6y=12 dengan menolak sebutan serupa pada setiap belah tanda sama dengan.

$$-2x+2x-6y+3y=12+3$$

Tambahkan -2x pada 2x. Seubtan -2x dan 2x saling membatalkan dan meninggalkan persamaan dengan hanya satu pemboleh ubah yang boleh diselesaikan.

$$-6y+3y=12+3$$

Tambahkan -6y pada 3y.

$$-3y=12+3$$

Tambahkan 12 pada 3.

$$-3y=15$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan -3.

$$y=-5$$

Gantikan -5 dengan y dalam 2x+3y=3. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$2x+3\left(-5\right)=3$$

Darabkan 3 kali -5.

$$2x-15=3$$

Tambahkan 15 pada kedua-dua belah persamaan.

$$2x=18$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 2.

$$x=9$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=9,y=-5$$