Selesaikan {l}{-x+y=2}{2y=9x+9}

$$\left. \begin{array} { l } { - x + y = 2 } \\ { 2 y = 9 x + 9 } \end{array} \right.$$

Selesaikan untuk x, y

$$x=-\frac{5}{7}\approx -0.714285714$$

$$y = \frac{9}{7} = 1\frac{2}{7} \approx 1.285714286$$

Langkah Menggunakan Penggantian

Pertimbangkan persamaan kedua. Tolak 9x daripada kedua-dua belah.

$$2y-9x=9$$

Untuk menyelesaikan sepasang persamaan menggunakan penggantian, mula-mula selesaikan satu daripada persamaan untuk salah satu daripada pemboleh ubah. Kemudian gantikan hasil untuk pemboleh ubah itu dalam persamaan lain.

$$-x+y=2,-9x+2y=9$$

Pilih salah satu daripada persamaan dan selesaikannya untuk x dengan mengasingkan x di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$-x+y=2$$

Tolak y daripada kedua-dua belah persamaan.

$$-x=-y+2$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan -1.

$$x=-\left(-y+2\right)$$

Darabkan -1 kali -y+2.

$$x=y-2$$

Gantikan y-2 dengan x dalam persamaan lain, -9x+2y=9.

$$-9\left(y-2\right)+2y=9$$

Darabkan -9 kali y-2.

$$-9y+18+2y=9$$

Tambahkan -9y pada 2y.

$$-7y+18=9$$

Tolak 18 daripada kedua-dua belah persamaan.

$$-7y=-9$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan -7.

$$y=\frac{9}{7}$$

Gantikan \frac{9}{7} dengan y dalam x=y-2. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$x=\frac{9}{7}-2$$

Tambahkan -2 pada \frac{9}{7}.

$$x=-\frac{5}{7}$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=-\frac{5}{7},y=\frac{9}{7}$$

Langkah Menggunakan Matriks

Pertimbangkan persamaan kedua. Tolak 9x daripada kedua-dua belah.

$$2y-9x=9$$

Letakkan persamaan dalam bentuk piawai dan kemudian gunakan matriks untuk menyelesaikan sistem persamaan.

$$-x+y=2,-9x+2y=9$$

Tuliskan persamaan dalam bentuk matriks.

$$\left(\begin{matrix}-1&1\\-9&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\9\end{matrix}\right)$$

Darabkan ke kiri persamaan dengan matriks songsang bagi \left(\begin{matrix}-1&1\\-9&2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}-1&1\\-9&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1&1\\-9&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-1&1\\-9&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\9\end{matrix}\right)$$

Matriks hasil darab dan sonsangnya adalah matriks identiti.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-1&1\\-9&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\9\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-1&1\\-9&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\9\end{matrix}\right)$$

Untuk matriks 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matriks songsang ialah \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), jadi persamaan matriks tersebut boleh ditulis semula sebagai masalah pendaraban matriks.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{-2-\left(-9\right)}&-\frac{1}{-2-\left(-9\right)}\\-\frac{-9}{-2-\left(-9\right)}&-\frac{1}{-2-\left(-9\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\9\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{7}&-\frac{1}{7}\\\frac{9}{7}&-\frac{1}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\9\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks tersebut.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{7}\times 2-\frac{1}{7}\times 9\\\frac{9}{7}\times 2-\frac{1}{7}\times 9\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{5}{7}\\\frac{9}{7}\end{matrix}\right)$$

Ekstrak unsur matriks x dan y.

$$x=-\frac{5}{7},y=\frac{9}{7}$$

Langkah Menggunakan Penghapusan

Pertimbangkan persamaan kedua. Tolak 9x daripada kedua-dua belah.

$$2y-9x=9$$

Untuk menyelesaikan dengan penghapusan, pekali bagi salah satu daripada pemboleh ubah mestilah sama dalam kedua-dua persamaan supaya pemboleh ubah tersebut akan saling membatalkan apabila satu persamaan ditolak daripada yang satu lagi.

$$-x+y=2,-9x+2y=9$$

Untuk menjadikan -x dan -9x sama, darabkan semua sebutan pada setiap belah persamaan pertama dengan -9 dan semua sebutan pada setiap belah yang kedua dengan -1.

$$-9\left(-1\right)x-9y=-9\times 2,-\left(-9\right)x-2y=-9$$

Permudahkan.

$$9x-9y=-18,9x-2y=-9$$

Tolak 9x-2y=-9 daripada 9x-9y=-18 dengan menolak sebutan serupa pada setiap belah tanda sama dengan.

$$9x-9x-9y+2y=-18+9$$

Tambahkan 9x pada -9x. Seubtan 9x dan -9x saling membatalkan dan meninggalkan persamaan dengan hanya satu pemboleh ubah yang boleh diselesaikan.

$$-9y+2y=-18+9$$

Tambahkan -9y pada 2y.

$$-7y=-18+9$$

Tambahkan -18 pada 9.

$$-7y=-9$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan -7.

$$y=\frac{9}{7}$$

Gantikan \frac{9}{7} dengan y dalam -9x+2y=9. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$-9x+2\times \frac{9}{7}=9$$

Darabkan 2 kali \frac{9}{7}.

$$-9x+\frac{18}{7}=9$$

Tolak \frac{18}{7} daripada kedua-dua belah persamaan.

$$-9x=\frac{45}{7}$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan -9.

$$x=-\frac{5}{7}$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=-\frac{5}{7},y=\frac{9}{7}$$