Selesaikan {l}{-x+8y=18}{x-6y=-16}

$$\left. \begin{array} { l } { - x + 8 y = 18 } \\ { x - 6 y = - 16 } \end{array} \right.$$

Selesaikan untuk x, y

$$x=-10$$

$$y=1$$

Langkah Menggunakan Penggantian

Untuk menyelesaikan sepasang persamaan menggunakan penggantian, mula-mula selesaikan satu daripada persamaan untuk salah satu daripada pemboleh ubah. Kemudian gantikan hasil untuk pemboleh ubah itu dalam persamaan lain.

$$-x+8y=18,x-6y=-16$$

Pilih salah satu daripada persamaan dan selesaikannya untuk x dengan mengasingkan x di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$-x+8y=18$$

Tolak 8y daripada kedua-dua belah persamaan.

$$-x=-8y+18$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan -1.

$$x=-\left(-8y+18\right)$$

Darabkan -1 kali -8y+18.

$$x=8y-18$$

Gantikan 8y-18 dengan x dalam persamaan lain, x-6y=-16.

$$8y-18-6y=-16$$

Tambahkan 8y pada -6y.

$$2y-18=-16$$

Tambahkan 18 pada kedua-dua belah persamaan.

$$2y=2$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 2.

$$y=1$$

Gantikan 1 dengan y dalam x=8y-18. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$x=8-18$$

Tambahkan -18 pada 8.

$$x=-10$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=-10,y=1$$

Langkah Menggunakan Matriks

Letakkan persamaan dalam bentuk piawai dan kemudian gunakan matriks untuk menyelesaikan sistem persamaan.

$$-x+8y=18,x-6y=-16$$

Tuliskan persamaan dalam bentuk matriks.

$$\left(\begin{matrix}-1&8\\1&-6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}18\\-16\end{matrix}\right)$$

Darabkan ke kiri persamaan dengan matriks songsang bagi \left(\begin{matrix}-1&8\\1&-6\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}-1&8\\1&-6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1&8\\1&-6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-1&8\\1&-6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}18\\-16\end{matrix}\right)$$

Matriks hasil darab dan sonsangnya adalah matriks identiti.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-1&8\\1&-6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}18\\-16\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-1&8\\1&-6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}18\\-16\end{matrix}\right)$$

Untuk matriks 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matriks songsang ialah \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), jadi persamaan matriks tersebut boleh ditulis semula sebagai masalah pendaraban matriks.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{6}{-\left(-6\right)-8}&-\frac{8}{-\left(-6\right)-8}\\-\frac{1}{-\left(-6\right)-8}&-\frac{1}{-\left(-6\right)-8}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}18\\-16\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3&4\\\frac{1}{2}&\frac{1}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}18\\-16\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks tersebut.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\times 18+4\left(-16\right)\\\frac{1}{2}\times 18+\frac{1}{2}\left(-16\right)\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-10\\1\end{matrix}\right)$$

Ekstrak unsur matriks x dan y.

$$x=-10,y=1$$

Langkah Menggunakan Penghapusan

Untuk menyelesaikan dengan penghapusan, pekali bagi salah satu daripada pemboleh ubah mestilah sama dalam kedua-dua persamaan supaya pemboleh ubah tersebut akan saling membatalkan apabila satu persamaan ditolak daripada yang satu lagi.

$$-x+8y=18,x-6y=-16$$

Untuk menjadikan -x dan x sama, darabkan semua sebutan pada setiap belah persamaan pertama dengan 1 dan semua sebutan pada setiap belah yang kedua dengan -1.

$$-x+8y=18,-x-\left(-6y\right)=-\left(-16\right)$$

Permudahkan.

$$-x+8y=18,-x+6y=16$$

Tolak -x+6y=16 daripada -x+8y=18 dengan menolak sebutan serupa pada setiap belah tanda sama dengan.

$$-x+x+8y-6y=18-16$$

Tambahkan -x pada x. Seubtan -x dan x saling membatalkan dan meninggalkan persamaan dengan hanya satu pemboleh ubah yang boleh diselesaikan.

$$8y-6y=18-16$$

Tambahkan 8y pada -6y.

$$2y=18-16$$

Tambahkan 18 pada -16.

$$2y=2$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 2.

$$y=1$$

Gantikan 1 dengan y dalam x-6y=-16. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$x-6=-16$$

Tambahkan 6 pada kedua-dua belah persamaan.

$$x=-10$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=-10,y=1$$