Selesaikan {l}{-x+5y=-1}{+x+2y=5}

$$\left. \begin{array} { l } { - x + 5 y = - 1 } \\ { + x + 2 y = 5 } \end{array} \right.$$

Selesaikan untuk x, y

$$x = \frac{27}{7} = 3\frac{6}{7} \approx 3.857142857$$

$$y=\frac{4}{7}\approx 0.571428571$$

Langkah Menggunakan Penggantian

Untuk menyelesaikan sepasang persamaan menggunakan penggantian, mula-mula selesaikan satu daripada persamaan untuk salah satu daripada pemboleh ubah. Kemudian gantikan hasil untuk pemboleh ubah itu dalam persamaan lain.

$$-x+5y=-1,x+2y=5$$

Pilih salah satu daripada persamaan dan selesaikannya untuk x dengan mengasingkan x di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$-x+5y=-1$$

Tolak 5y daripada kedua-dua belah persamaan.

$$-x=-5y-1$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan -1.

$$x=-\left(-5y-1\right)$$

Darabkan -1 kali -5y-1.

$$x=5y+1$$

Gantikan 5y+1 dengan x dalam persamaan lain, x+2y=5.

$$5y+1+2y=5$$

Tambahkan 5y pada 2y.

$$7y+1=5$$

Tolak 1 daripada kedua-dua belah persamaan.

$$7y=4$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 7.

$$y=\frac{4}{7}$$

Gantikan \frac{4}{7} dengan y dalam x=5y+1. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$x=5\times \frac{4}{7}+1$$

Darabkan 5 kali \frac{4}{7}.

$$x=\frac{20}{7}+1$$

Tambahkan 1 pada \frac{20}{7}.

$$x=\frac{27}{7}$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=\frac{27}{7},y=\frac{4}{7}$$

Langkah Menggunakan Matriks

Letakkan persamaan dalam bentuk piawai dan kemudian gunakan matriks untuk menyelesaikan sistem persamaan.

$$-x+5y=-1,x+2y=5$$

Tuliskan persamaan dalam bentuk matriks.

$$\left(\begin{matrix}-1&5\\1&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1\\5\end{matrix}\right)$$

Darabkan ke kiri persamaan dengan matriks songsang bagi \left(\begin{matrix}-1&5\\1&2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}-1&5\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1&5\\1&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-1&5\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1\\5\end{matrix}\right)$$

Matriks hasil darab dan sonsangnya adalah matriks identiti.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-1&5\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1\\5\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-1&5\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1\\5\end{matrix}\right)$$

Untuk matriks 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matriks songsang ialah \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), jadi persamaan matriks tersebut boleh ditulis semula sebagai masalah pendaraban matriks.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{-2-5}&-\frac{5}{-2-5}\\-\frac{1}{-2-5}&-\frac{1}{-2-5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-1\\5\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{7}&\frac{5}{7}\\\frac{1}{7}&\frac{1}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-1\\5\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks tersebut.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{7}\left(-1\right)+\frac{5}{7}\times 5\\\frac{1}{7}\left(-1\right)+\frac{1}{7}\times 5\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{27}{7}\\\frac{4}{7}\end{matrix}\right)$$

Ekstrak unsur matriks x dan y.

$$x=\frac{27}{7},y=\frac{4}{7}$$

Langkah Menggunakan Penghapusan

Untuk menyelesaikan dengan penghapusan, pekali bagi salah satu daripada pemboleh ubah mestilah sama dalam kedua-dua persamaan supaya pemboleh ubah tersebut akan saling membatalkan apabila satu persamaan ditolak daripada yang satu lagi.

$$-x+5y=-1,x+2y=5$$

Untuk menjadikan -x dan x sama, darabkan semua sebutan pada setiap belah persamaan pertama dengan 1 dan semua sebutan pada setiap belah yang kedua dengan -1.

$$-x+5y=-1,-x-2y=-5$$

Tolak -x-2y=-5 daripada -x+5y=-1 dengan menolak sebutan serupa pada setiap belah tanda sama dengan.

$$-x+x+5y+2y=-1+5$$

Tambahkan -x pada x. Seubtan -x dan x saling membatalkan dan meninggalkan persamaan dengan hanya satu pemboleh ubah yang boleh diselesaikan.

$$5y+2y=-1+5$$

Tambahkan 5y pada 2y.

$$7y=-1+5$$

Tambahkan -1 pada 5.

$$7y=4$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 7.

$$y=\frac{4}{7}$$

Gantikan \frac{4}{7} dengan y dalam x+2y=5. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$x+2\times \frac{4}{7}=5$$

Darabkan 2 kali \frac{4}{7}.

$$x+\frac{8}{7}=5$$

Tolak \frac{8}{7} daripada kedua-dua belah persamaan.

$$x=\frac{27}{7}$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=\frac{27}{7},y=\frac{4}{7}$$